Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo,
intensità) costante si dice moto circolare uniforme.
Si noti che ad essere costante, in questo moto, è l'intensità della velocità, cioè il numero che ne
rappresenta il valore. Questa precisazione è doverosa, perché in questo moto la direzione della
velocità cambia continuamente.
La velocità, come ben sappiamo, è un vettore per cui è caratterizzata da intensità, direzione e verso.
Per il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità, il moto circolare
uniforme è un moto accelerato. Questo fatto è di grande importanza ed è necessario sottolinearlo,
perché, siccome il modulo della velocità è costante, si potrebbe essere tentati di considerarlo un
moto non accelerato.
Per definizione, un moto accelerato è un moto in cui la velocità cambia e, perché la velocità cambi,
basta che di essa cambi anche una sola delle sue "componenti" (intensità, direzione o verso).
Dal punto di vista dinamico, poi, se un moto è accelerato allora è presente una forza (per il secondo
principio), ma di questo parleremo fra poco.
Possiamo allora chiamare l'intensità della velocità col nome di velocità scalare, per distinguerla dalla
velocità nel suo complesso, intesa come vettore.
Possiamo perciò ridefinire il moto circolare uniforme come quel moto su di una circonferenza che
avviene con velocità scalare costante.
Se percorro in auto una rotonda a velocità scalare (quella misurata dal tachimetro) costante, sono in
moto circolare uniforme.
Definiamo (o ridefiniamo più esattamente) ora alcune grandezze relative al moto circolare uniforme :
- 1 - periodo
Il periodo è il tempo impiegato a fare un giro completo. Esso si misura nel S.I. (Sistema
Internazionale) in secondi. Esso viene di solito indicato dalla lettera maiuscola T .
Per esempio, se percorro in auto una rotonda in 20 s , il periodo del moto circolare
uniforme che compio è proprio uguale a 20 s , per cui T = 20 s.
Si noti che il concetto di periodo vale anche per moti qualunque che abbiano però
la caratteristica di essere periodici, ovvero di "ripassare" per uno stesso punto dopo
un certo tempo.
- 2 - frequenza
La frequenza indica il numero di giri completi effettuati nell'unità di tempo. Nel S.I.
la frequenza si misura in hertz (Hz) ed indica il numero di giri al secondo. Essa viene
di solito indicata con la lettera minuscola f o la lettera greca ν ("ni").
La frequenza caratterizza in generale un fenomeno periodico qualunque.
Fra il periodo e la frequenza sussiste una relazione matematica importantissima :
f = 1 / T
che esprime il fatto che la frequenza è l'inverso del periodo.
Per esempio, se il periodo di un moto circolare uniforme è 5 s ciò significa che il corpo
fa un giro completo in 5 secondi. Quanti giri farà al secondo ? Ovviamente 1/5 , per
cui la frequenza di questo moto sarà 1/5 = 0,2 Hz .
- 3 - velocità scalare
La velocità scalare del moto circolare uniforme è, come per tutte le velocità, misurata dal
rapporto spazio / tempo .
Se il raggio della circonferenza è R , considerando che l'intera circonferenza misura 2 π R
e che il tempo complessivo per percorrerla è il periodo T , si avrà allora :
v = s / t = 2 π R / T
Questa è la formula della velocità scalare del moto rettilineo uniforme. Essa può essere
espressa anche in funzione della frequenza tenendo presente che f = 1 / T . Si ottiene
allora :
v = 2 π R f .
La velocità scalare, ovviamente, è misurata nel S.I. in m/s .
Se per esempio percorro in auto una rotonda di raggio R = 20 m in un periodo T = 20 s ,
la mia velocità scalare sarà :
v = 2 · 3,14 · 20 / 20 = 6,28 m/s .
02 - Accelerazione centripeta.
Il moto rettilineo uniforme è un moto dotato di accelerazione perché la direzione della sua velocità
cambia punto per punto. Vediamo ora come si calcola questa accelerazione e le sue caratteristiche.
Consideriamo i vettori velocità nei punti A e B e chiamiamoli rispettivamente
e 
:
Per accelerazione si intende la variazione della velocità nell'unità di tempo. Chiamiamo con
("delta v") la variazione di velocità fra i punti A e B per cui si ha :
in quanto la velocità nel punto B vale la velocità nel punto A più la variazione di velocità (sono tutti e
tre vettori !).
Per comodità, riportiamo il vettore
nel punto A tramite uno spostamento parallelo.
Otteniamo
così :
Si ricordi che le intensità di
e sono le
stesse e che per fare la somma fra due vettori si deve
usare la regola del parallelogramma .
Abbiamo così ottenuto il vettore variazione di velocità
che appare "sorprendentemente" diretto
verso il centro della circonferenza lungo la quale avviene il moto.
Se poi dividiamo questo vettore per il tempo t in cui il punto va da A a B , otteniamo infine l'accelerazione
cercata che è essa stessa un vettore che ha la stessa direzione e verso (poiché il tempo per cui dividiamo
è un numero positivo) del vettore variazione di velocità
.
L'accelerazione risulta allora :
.
Si noti che abbiamo indicato l'accelerazione con il "pedice" c . Questo a significare che l'accelerazione
"punta" verso il centro, e per questo è detta accelerazione centripeta.
Questa accelerazione, in un dato punto della circonferenza, è esattamente puntata verso il centro anche
se, guardando il grafico, ciò sembrerebbe vero solo approssimativamente. Nel grafico abbiamo preso due
punti ( A e B ) "abbastanza" lontani per motivi di semplicità. Se li prendessimo "molto vicini" (infinitamente
vicini), si vedrebbe che
è diretto esattamente verso il centro e si otterrebbe
allora la variazione
istantanea della velocità.
Ritorneremo su questi concetti quando affronteremo il calcolo differenziale. Per il momento accontentiamoci
di queste considerazioni qualitative.
Quanto vale l'intensità dell'accelerazione centripeta ? Per ricavarla occorrono alcuni rudimenti di calcolo
differenziale, per cui ne diamo direttamente del risultato. L'intensità della accelerazione centripeta è :
dove v è la velocità scalare del moto ed R il raggio della circonferenza. Si noti anche che qui, velocità
ed accelerazione sono intese scalarmente (come intensità, numeri).
Si noti che l'accelerazione centripeta è direttamente proporzionale al quadrato della velocità ed
inversamente proporzionale al raggio. Ciò significa che se la velocità raddoppia, l'accelerazione
quadruplica ecc. , se il raggio raddoppia, l'accelerazione dimezza, se il raggio dimezza, l'accelerazione
raddoppia ecc.
Questo fatto è molto importante e lo approfondiremo prendendo in considerazione la forza centripeta.
03 - Forza centripeta.
Se un corpo si muove di moto accelerato, ciò accade perché esso subisce l'azione di una forza (risultante).
Per il secondo principio della dinamica, la relazione fra forza ed accelerazione è data dalla formula :
F = m · a .
In questa formula F ed a sono le intensità dei rispettivi vettori. Se consideriamo a e v , come essi
in realtà sono, dei vettori, la formula diventa :
essendo la massa m uno scalare (grandezza dotata solo del un numero che la rappresenta).
Nel moto circolare uniforme allora agisce una forza, la cosiddetta forza centripeta, che è la causa del
fatto che il corpo percorre una traiettoria circolare. Se sul corpo non agisse nessuna forza (risultante), il
corpo si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (primo principio della dinamica).
La forza centripeta sarà allora :
e sarà orientata come l'accelerazione centripeta, essendo la massa m un numero positivo (moltiplicando
un vettore per un numero positivo, direzione e verso del vettore che si ottiene non cambiano).
L'intensità della forza centripeta sarà :
.
Per la forza centripeta valgono le stesse considerazione di proporzionalità diretta ed inversa che
abbiamo fatto per l'accelerazione centripeta.
Consideriamo un corpo di massa m = 80 kg in moto circolare uniforme con velocità scalare v = 5 m/s
lungo una circonferenza di raggio R = 10 . La forza centripeta sarà :
Fc = 80 · 5 ² / 10 = 200 N (newton) .
A parità di massa e raggio, ma con velocità doppia v = 10 m/s , la forza centripeta diventa :
Fc = 80 · 10 ² / 10 = 800 N
cioè ben 4 volte la precedente !!!
Quando si va in auto, occorrerebbe tenere ben presente tutto ciò ...
04 - Numeri razionali.
Sull'insieme dei numeri interi I = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} è possibile eseguire le operazioni + - ·
mentre non è possibile eseguire l'operazione di divisione / . Il motivo di questo è dovuto al fatto
che la divisione fra due numeri interi non dà in generale un risultato intero. Per esempio 1 / 2 = 0,5
non è un un numero intero.
Una operazione matematica su un insieme, per essere ben definita, deve essere chiusa, cioè deve essere
tale per cui il risultato dell'operazione deve sempre appartenere all'insieme dato.
Vediamo ora come si può introdurre l'operazione di divisione e come questo porti alla creazione di un
nuovo insieme di numeri, l'insieme dei numeri razionali Q .
Consideriamo il prodotto cartesiano I x I - {0} , ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) che
hanno la prima coordinata x appartenente all'insieme dei numeri interi I e la seconda coordinata y
appartenente all'insieme dei numeri interi escluso lo zero I - {0} .
Il perché abbiamo escluso lo zero per la seconda coordinata apparirà chiaro in seguito.
Consideriamo, per esempio, equivalenti le coppie ordinate :
(1, 2), (2, 4), (3,6) ... (-1, -2), (-2, -4) ...
perché immaginando di fare la divisione fra la prima coordinata e la seconda otteniamo lo stesso
quoziente. Infatti :
1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = ... = -1 / -2 = -2 / -4 = 0,5 .
Indichiamo allora con 1/2 la classe di equivalenza formata dalle suddette coppie ordinate. Scriviamo
cioè :
[1/2] = {... (-2, -4), (-1, -2), ..., (1, 2), (2, 4), (3, 6) ...} = 1/2 .
Graficamente :
(per esigenze grafiche abbiamo indicato solo i numeri pari).
Si noti che abbiamo escluso con delle crocette tutte le coppie ordinate con zero come seconda coordinata.
Abbiamo in questo modo "costruito" il numero razionale 1/2 .
Analogamente otterremo gli altri numeri razionali :
Si noti che se la divisione fra due numeri interi è "esatta" si ottiene ancora un numero intero.
Si noti anche che il numero 0 è la seguente classe di equivalenza :
[0] = {... (0, -2), (0, -1), ..., (0, 1), (0, 2), (0, 3) ...} = 0
perché 0 diviso per qualsiasi numero (diverso da 0 ) dà sempre 0 . Il numero 0 sarà allora l'insieme
delle coppie ordinate che stanno sulla retta verticale che passa per (0, 0) .
Tutti i numeri razionali si definiscono quindi come classi di equivalenza corrispondenti alle rette che passano
per l'origine così come indicato nel grafico.
I numeri razionali positivi corrisponderanno a rette oblique pendenti verso destra, mentre i numeri
razionali negativi corrisponderanno a rette oblique pendenti verso sinistra.
Si osservi sul grafico come la pendenza vari al crescere dei numeri razionali in senso positivo e negativo.
La retta orizzontale passante per la coppia ordinata (0, 0) è stata esclusa a priori e quindi non corrisponde
a nessun numero razionale.
Essa è determinata dalle coppie ordinate che hanno come seconda coordinata il numero zero, cioè :
(-3, 0), (-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), ... .
Tutte queste coppie ordinate corrisponderebbero alle seguenti divisioni :
... -3 / 0, -2/0, 0, -1/0, 0 / 0, 1 / 0, 2 / 0, 3 / 0, ...
le quali non hanno senso, non si possono eseguire perché se per esempio facessi :
1 / 0
dovrei trovare come risultato un numero che moltiplicato per 0 mi ritornasse 1 e questo è impossibile,
perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0 .
Anche la divisione 0 / 0 non si può fare. Infatti il risultato dovrebbe essere un numero che moltiplicato
per 0 dovrebbe darmi 0 . Siccome tutti i numeri moltiplicato per 0 danno 0 , il risultato sarebbe
indeterminato.
L'insieme dei numeri razionali è allora l'insieme di tutte le frazioni a denominatore non nullo che si possono
fare prendendo due numeri interi qualsiasi (sempre escludendo lo zero al denominatore). Esso si indica
con la lettera Q e si può rappresentare come :
.
Siccome, in certi casi, le frazioni danno per risultato un numero intero, si ha :
Si dice allora che Q è una estensione di I .
Fine.