Consideriamo il moto rettilineo di un corpo il cui grafico spazio-tempo è il seguente :
Dividiamo il moto in 4 zone :
- I - In questa zona il moto è accelerato con accelerazione positiva. Infatti, punto per punto,
la velocità, che è indicata dalla pendenza della curva, cresce. La forza risultante che
agisce sul corpo è di conseguenza positiva (orientata secondo il moto).
- II - In questa zona il moto è uniforme. La velocità rimane costante in quanto a tempi uguali
corrispondono spazi uguali, cioè il grafico è un segmento di retta. L'accelerazione è qui
nulla. La forza risultante che agisce sul corpo è di conseguenza nulla.
- III - In questa zona il moto è accelerato con accelerazione negativa. La velocità, data dalla
pendenza della curva, cala punto per punto. La forza risultante che agisce sul corpo è di
conseguenza negativa (orientata contrariamente al moto).
- IV - In questa zona il corpo è in quiete perché lo spazio rimane costante allo scorrere del tempo.
La velocità è qui nulla e l'accelerazione è anch'essa nulla. La forza risultante che agisce
sul corpo è di conseguenza nulla.
02 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali.
Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non
sono misurabili non sono oggetto della fisica. Come ben sappiamo, dobbiamo a Galileo l'avere chiarito lo
scopo ed il metodo della fisica, così che la scienza moderna ha inizio con lui.
Le grandezze fisiche sono allora entità misurabili. Spostamenti, tempi, velocità, accelerazioni, forze, masse ecc.
sono esempi di grandezze fisiche che abbiamo già incontrato più volte. Queste grandezze devono sempre
essere riferite ad una unità di misura. Non è corretto, univoco, per esempio, dire : questa massa vale 10 .
Se non si specifica l'unità di misura, quella affermazione non ha senso. L'affermazione corretta è invece :
questa massa vale 10 chilogrammi.
Le unità di misura attualmente accettate dai fisici sono elencate nel cosiddetto sistema internazionale (S.I.).
In passato si usavano vari sistemi di misura, praticamente ogni nazione aveva i propri. Oggi si è deciso a
livello mondiale di utilizzare il S.I. anche se molte unità di misura "tradizionali" vengono ancora utilizzate.
Per esempio i piedi, i galloni, le calorie, i cavalli-vapore ecc.
In fisica esistono due tipi di grandezze : le grandezze scalari e le grandezze vettoriali.
Ciò si deduce osservando direttamente la realtà. Vediamo ora di chiarire il perché di questa distinzione.
- grandezze scalari.
Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono completamente caratterizzate, definite, da un
solo numero rispetto ad una unità di misura prescelta.
Per esempio, l'area è uno scalare (si può dire così, più brevemente). Il numero in metri quadrati che
rappresenta l'area di una superficie è sufficiente a caratterizzare quella grandezza. Non servono ulteriori
specificazioni per cui se andassi a comprare delle mattonelle per il pavimento del mio studio, dopo avere
scelto il tipo, basterebbe che dicessi al commerciante un solo numero (in metri quadrati) che lui capirebbe
immediatamente di cosa ho bisogno.
Altre grandezze fisiche, invece, per essere specificate, hanno bisogno di più informazioni.
- grandezze vettoriali.
Se dicessi che mi sono spostato di un chilometro, ciò non sarebbe sufficiente per indicare dove esattamente
sono andato. In questo caso dovrei aggiungere anche l'informazione della direzione su cui mi sono mosso
e del verso che ho seguito.
Le grandezze vettoriali, allora, sono definite da una direzione, un verso ed una intensità.
La direzione è la retta su cui la grandezza si esplica, il verso è uno dei due possibili versi che una retta
può avere, e l'intensità (si dice anche modulo o valore assoluto) è il valore numerico, rispetto ad una
unità di misura, che esprime il valore di quella grandezza.
Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la forza, la velocità ecc. Tutte queste grandezze
non possono essere semplici grandezze scalari perché necessitano, per essere completamente determinate,
anche di una specificazione di direzione e verso.
Le grandezze vettoriali (più brevemente, i vettori) posso essere rappresentati geometricamente come
segmenti dotati di freccia :
Si noti che la lunghezza del segmento che indica il vettore è rapportato ad una unità di misura, per cui,
nell'esempio grafico, il vettore ha intensità 5 .
Simbolicamente un vettore si indica con una lettera su cui si pone una piccola freccia, oppure da una
lettera in grassetto :
oppure V .
I vettori possono essere sommati. Per esempio, se consideriamo due spostamenti successivi di un
corpo, lo spostamento complessivo risultante sarà la somma dei due vettori che rappresentano
i due spostamenti :
Il corpo si muove inizialmente da A a B e poi da B a C . Lo spostamento AB è rappresentato
dal vettore
e lo
spostamento BC è rappresentato dal vettore 
.
Lo spostamento complessivo risultante, da A a C , è rappresentato dal vettore
che è esprimibile
come la somma vettoriale
.
Si noti che la somma vettoriale così definita non coincide in generale con la normale somma di numeri !!!
Infatti, lo spostamento
ha una intensità 4 mentre lo spostamento
ha una intensità di 3 . Lo
spostamento risultante, somma vettoriale dei due, ha intensità pari a :
(si applica il teorema di Pitagora) mentre la somma delle intensità dei due vettori è :
4 + 3 = 7 .
Solo nel caso di vettori allineati e dello stesso verso si ha che l'intensità del vettore risultante eguaglia la
somma delle intensità dei vettori di partenza :
in questo caso l'intensità di
è 7 ed eguaglia la somma 4 + 3 delle intensità
di e
.
Addirittura, se il corpo, dopo essere arrivato in B ritorna in A , si ha :
dove lo spostamento risultante è nullo. Il corpo, in effetti, dal punto di vista dell'effettivo spostamento,
ritornando al punto di partenza, non si è mosso. Si ha cioè che
vale zero.
Nel caso generale di due spostamenti con angoli qualunque, si ha :
dove si vede molto bene che il vettore risultante
è la diagonale principale del parallelogramma
così come ottenuto in figura. La stessa cosa, ovviamente, vale anche per i casi precedenti
Abbiamo così desunto una regola di fondamentale importanza :
i vettori si sommano secondo la regola del parallelogramma.
Esempi :
- 1 - Somma di forze :
Nel caso I le due forze di 2 N sono ad angolo retto per cui la risultante (somma) avrà una
intensità pari a
N (per il teorema di Pitagora).
Nel caso II le de forze hanno la stessa direzione, stessa intensità ( 2 N ) ma verso opposto
per cui la risultante avrà intensità 0 .
Nel caso III le due forze sono uguali in direzione verso ed intensità. La risultante avrà
intensità 4 N , stessa direzione e stesso verso.
Si noti che le forze le abbiamo considerate applicate in uno stesso punto.
- 2 - Somma di velocità (le intensità dei vettori sono su scala arbitraria) :
Nel primo caso un treno viaggia a 30 km/h rispetto a terra ed un uomo cammina nella direzione
del moto del treno alla velocità di 5 km/h . La somma delle velocità avrà, vista da terra, una
intensità di 35 km/h , la stessa direzione e lo stesso verso.
Nel secondo caso, invece, la risultante avrà intensità 25 km/h , stessa direzione e verso della
velocità maggiore.
Un ultimo esempio. Una barca che attraversa un fiume :
03 - Numeri naturali.
I numeri naturali sono l'insieme di base su cui si costruiscono tutti gli altri tipi di numeri. I numeri naturali
non sono definibili a partire da altri oggetti : essi sono dati a priori.
Essi sono i numeri 1, 2, 3, ... ed il loro insieme si indica con la lettera N per cui si ha :
N = {1, 2, 3, ...} .
Le proprietà dei numeri naturali sono tutte riconducibili a 3 assiomi, i cosiddetti assiomi di Peano (logico
e matematico italiano, 1858-1932). Essi si possono riassumere in maniera intuitiva nel seguente modo :
- 1 - esiste il numero 1
- 2 - ogni numero naturale possiede un successivo
- 3 - ogni numero naturale si ottiene da 1 "contando" in successione.
Con i numeri naturali si possono eseguire solo le operazioni di addizione + e moltiplicazione · .
L'operazione di sottrazione non è definibile nell'insieme di numeri naturali perché in esso non sarebbe
una operazione chiusa.
Una operazione definita su di un insieme, per essere "ben definita" deve avere la proprietà di essere
chiusa, ovvero il risultato dell'operazione deve essere un elemento dell'insieme stesso. Per esempio,
se eseguo la sottrazione 1 - 2 , il risultato, essendo -1 (cioè negativo), non fa parte dell'insieme in questione.
Per questo motivo, con i numeri naturale si possono fare solo il + ed il · .
04 - Numeri interi.
I numeri interi sono definiti a partire dai numeri naturali.
Consideriamo il prodotto cartesiano N x N ed affermiamo che le coppie :
(1,1), (2,2), (3,3), ...
sono equivalenti perché, se immaginassimo di fare la differenza fra la prima coordinata e la seconda
coordinata, otterremo :
1 - 1 = 2 - 2 = 3 - 3 = ... = 0 .
Indichiamo allora con 0 la classe di equivalenza formata dalle suddette coppie ordinate. Scriviamo cioè :
[0] = {(1,1), (2,2), (3,3), ...} = 0 .
Graficamente :
Analogamente otterremo :
[1] = {(2,1), (3,2), (4,3), ...} = 1
[2] = {(3,1), (4,2), (5,3), ...} = 2
... ... ...
[-1] = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} = -1
[-2] = {(1,3), (2,4), (3,5), ...} = -2
... ... ...
Graficamente :
Abbiamo così costruito l'insieme dei numeri interi a partire dai numeri naturali.
L'insieme dei numeri interi si indica con la lettera I e vale :
I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} .
L'insieme dei numeri interi contiene l'insieme dei numeri naturali come suo sottoinsieme proprio per cui
possiamo scrivere :
e di conseguenza possiamo dire che I è una estensione di N .
Con i diagrammi di Venn quanto affermato risulta evidente :
Con i numeri interi possono fare le operazioni di addizione + , sottrazione - e moltiplicazione · .
L'operazione di divisione non è definita sui numeri interi perché la divisione fra due numeri interi non è in
generale un numero intero.
Fine.