I primi due principi della dinamica in effetti costituiscono un solo principio in quanto il primo è un caso
particolare del secondo.
La formula che riassume il secondo principio è come ben sappiamo :
F = m · a .
Essa afferma che la forza che agisce su un corpo gli imprime una accelerazione proporzionale alla forza
stessa.
Nel caso in cui la forza (ovvero la risultante delle forze) è nulla, si ha allora una accelerazione nulla
perché l' "equazione" :
0 = m · a ,
che si ottiene mettendo 0 al posto della forza F , è risolubile solo per :
a = 0 ,
essendo la massa del corpo non nulla.
Abbiamo così visto che se su un corpo non agiscono forze (ovvero la loro risultante è nulla) esso si
muove con accelerazione nulla, cioè con velocità costante.
E questo è appunto il caso contemplato dal primo principio della dinamica.
02 - Terzo principio della dinamica.
I primi due principi della dinamica si occupano del moto dei corpi in relazione alle forze che agiscono
su di essi.
Il terzo, e ultimo, principio della dinamica si occupa essenzialmente delle forze.
Esso afferma che ad ogni forza corrisponde una forza di uguale direzione, intensità ma di verso
contrario.
Altrimenti su suol dire che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, anche se in
questo modo non si esprime chiaramente che di uguale vi è solo la direzione e la intensità delle forze mentre
i versi sono contrari.
In natura, cioè, non esistono forze isolate, da sole : le forze sono sempre in coppia
Gli esempi di ciò sono innumerevoli :
- 1 - La terra attira gravitazionalmente un corpo verso il suo centro e questa forza si chiama peso
del corpo. Contemporaneamente quel corpo attira la terra con una forza di uguale direzione,
intensità ma di verso opposto :
(naturalmente l'effetto della forza con cui il corpo attira la terra è trascurabile data la enorme
massa della terra nei confronti di quelle dei corpi ordinari).
- 2 - La terra attira a sé la luna e la luna attira a sé la terra. In questo caso, l'effetto di questa seconda
forza non è trascurabile in quanto la massa della luna non è praticamente nulla rispetto a quella
della terra, per cui il sistema terra-luna è un sistema meccanico molto complesso (si pensi anche
al fenomeno delle maree) :
- 3 - Il sole attira a sé i pianeti ed i pianeti fanno altrettanto nei confronti del sole.
- 4 - Quando cammino, io spingo con i piedi sulla terra e la terra "spinge" su di me. Ecco il motivo
per cui riesco ad avanzare.
- 5 - Quando si rema in una barca a remi, i remi spingono sull'acqua e l'acqua, di conseguenza,
spinge sulla barca facendola avanzare.
- 6 - L'aereo ad elica vola nell'aria perché l'elica spinge sull'aria la quale risponde spingendo
sull'aereo facendolo avanzare.
- 7 - Quando si spara con un'arma da fuoco, la polvere da sparo, esplodendo, imprime una forza
al proiettile e contemporaneamente all'arma stessa. Il proiettile, essendo leggero, subirà una
grande accelerazione mentre l'arma, di massa molto maggiore, ne subirà una molto minore,
il cosiddetto rinculo.
(i due vettori indicati sono le velocità del proiettile e dell'arma).
- 8 - Il motore a reazione utilizzato da aerei e missili non ha bisogno di aria su cui agire. Esso
funziona anche nel vuoto ! (vedi i viaggi spaziali). Il funzionamento di un motore a reazione
è analogo al fenomeno del rinculo di un'arma da fuoco. Il motore a reazione emette gas ad
altissima velocità e questo obbliga il velivolo a cui è collegato il motore a muoversi dalla parte
opposta. Naturalmente la velocità del velivolo, avendo esso una grande massa, sarà molto
minore di quella del gas eiettato dal motore :
(i due vettori indicati sono le velocità del gas e del missile).
03 - Esempi di funzione.
Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da A a B , dove A e B sono indicati nei rispettivi grafici.
Ed ora due esempi di inversione di una funzione.
04 - Funzioni composte.
Consideriamo ora la funzione y = f(x) da A a B e la funzione z = g(y) da B a C .
I loro grafici cartesiani, per esempio, siano :
Se rappresentiamo le due funzioni con i diagrammi di Venn otteniamo :
(si noti che la rappresentazione con i diagrammi di Venn fornisce un altro interessante e "suggestivo" modo
di visualizzare una funzione).
A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da x a z direttamente, senza passare da y ?
Basta considerare la funzione composta (detta anche funzione di funzione) :
z = g(f(x))
che si ottiene sostituendo alla y di g(y) il suo valore f(x) :
La funzione composta quindi fornisce una "scorciatoia" matematica che lega due funzioni, facendoci
andare da x direttamente a z .
Con i diagrammi di Venn si ha :
Facciamo un esempio numerico di funzione composta. Supponiamo che :
y = f(x) corrisponda a y = 2x + 1
e
z = g(y) corrisponda a z = y ² .
La funzione composta z = g(f(x)) sarà allora :
z = (2x + 1) ²
che si ottiene semplicemente sostituendo alla y di g(y) la f(x) .
Fine.