Anche se ancora non abbiamo studiato sistematicamente i numeri, possiamo iniziare a fare alcuni
esempi di funzioni numeriche visto che tutti noi abbiamo di essi (dei numeri) almeno una idea intuitiva.
Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e l'elevamento a potenza. Non sempre,
però, queste operazioni hanno un risultato.
Non hanno risultato le seguenti operazioni :
la divisione di qualunque numero per 0 cioè : 1 / 0 , 2/ 0 , 10 / 0 , -1 / 0 , ... , 0 / 0
la potenza : 0 °
mentre bisogna ricordare che ogni numero (eccetto 0 ) elevato alla 0 dà 1 , cioè :
1 ° = 3 ° = 10 ° = (-4) ° = ... = 1 .
Si ricordi anche che x ¹ = x .
Ritorneremo su queste "questioni" molte volte ed in particolare quando studieremo a fondo i numeri e
le loro proprietà.
Per il momento, possiamo affermare che tutti i numeri, da meno infinito a più infinito, si chiamano
numeri reali e che essi si possono porre su di una retta orientata (dotata di una freccia) :
Una generica funzione numerica si indica con la scrittura :
y = f(x)
dove x è la variabile indipendente, appartenente al dominio della funzione, ed y è la variabile
dipendente, appartenente al codominio della funzione.
Il simbolo f(x) significa che se si dà un valore alla x , facendo i calcoli indicati dalla funzione stessa,
si ottiene un valore (uno solo !) della y .
Una funzione può "contenere" altre funzioni quali la radice quadrata, il seno, il coseno, la tangente, il
logaritmo, l'esponenziale ecc. Tutte funzioni "preconfezionate" importantissime che studieremo a fondo.
Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanza disegnarne il grafico cartesiano.
La funzione, così come è scritta in termini simbolici, ci "dice" molto poco. Il suo grafico, invece, ci dà in
maniera visiva e sintetica tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno.
Ecco allora che lo studio di funzione, il disegnarne il grafico, costituisce uno dei capitoli centrali di tutta
la matematica. In questo corso impareremo come studiare ogni tipo di funzione e questo sarà l'argomento
più importante che costituirà la base di tutti gli altri.
Riportiamo qui come esempio i grafici di alcuni funzioni numeriche.
- 1 - y = 1 , y = 2 , y = -1 , y = -2 , y = 0
Si tratta di rette parallele all'asse delle x , perché dando alla x qualsiasi valore, si ottiene sempre
una y costante. Si noti che la funzione y = 0 coincide con l'asse delle x .
- 2 - y = x
La funzione y = x rappresenta la retta bisettrice del I e del III quadrante.
- 3 - y = -x
La funzione y = -x rappresenta la retta bisettrice del II e del IV quadrante.
- 4 - y = x/2 , y = 2x , y = 3x , y = -2x
Sono tutte rette che passano per l'origine 0 . Si noti che la "pendenza" della retta y = 3x è
maggiore di quella della retta y = 2x . In generale, la pendenza è maggiore quanto più è grande
in valore assoluto (cioè privato del segno) il numero (coefficiente) che moltiplica la x .
- 5 - y = mx
Possiamo affermare allora che ogni funzione del tipo y = mx , dove m è un numero qualunque,
rappresenta una retta che passa per l'origine. Viceversa, ogni retta che passa per l'origine è
rappresentata da una funzione del tipo y = mx . Questa seconda affermazione è vera con una
sola eccezione :
la retta che coincide con l'asse delle y non è rappresentabile da una funzione di quel tipo, anzi
non è neppure una funzione, perché al valore x = 0 corrispondono infinite immagini (per cui
cade uno dei due presupposti perché una relazione sia una funzione).
Il fatto che la retta x = 0 (l'asse delle ordinate) non è una funzione lo si può dedurre anche considerando
che la retta y = mx ha una pendenza che cresce al crescere del valore di m . Per valori di m sempre
più grandi, la retta tenderà a diventare verticale senza però mai esserlo veramente. Solo se m avesse
valore infinito, allora la retta diverrebbe esattamente verticale, quindi coincidente con l'asse delle y ,
ma l'infinito non è un numero, per cui nessuna funzione del tipo y = mx può rappresentare una tale
retta (verticale).
(per semplicità abbiamo disegnato solo le semirette del I quadrante).
- 6 - y = mx + p
Le funzioni di primo grado (in x ) sono le funzioni più semplici. Esse sono riassumibili dalla
espressione y = mx + p dove m e p sono due numeri reali qualunque.
Per esempio :
y = 2x + 1
y = 3x - 2 ecc.
Orbene, tutte le funzioni del tipo y = mx + p sono rappresentate da una retta.
Ritorneremo su questo più approfonditamente fra breve.
- 7 - y = f(x)
In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentata da una curva del
piano :
Le rette viste sopra, in matematica, sono allora delle curve, anche se ... dritte.
02 - Funzioni a due variabili indipendenti.
Le funzioni possono avere anche due variabili indipendenti. In questo caso vengono simbolicamente
indicate dall'espressione :
z = f(x, y)
dove le variabili x ed y , le variabili indipendenti appunto, possono assumere valori qualunque mentre
la variabile dipendente z è ottenuta di conseguenza calcolando l'espressione matematica che caratterizza
la funzione stessa.
Come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabili indipendenti ?
Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali a tre dimensioni 0xyz . Diamo poi valori a caso
alle variabili indipendenti x ed y . Otterremo diversi punti del piano 0xy . Facciamo questo in
modo da ottenere una certa regione (dominio) del piano 0xy .
Abbiamo così individuato un insieme di coppie ordinate (x, y) . Adesso, per ciascuna di queste coppie
calcoliamo il valore z = f(x, y) . Otteniamo quindi, per ogni coppia (x, y) un numero z . Immaginiamo
allora che questo numero z sia la "quota" di ciascuna coppia (x, y) . Otterremo allora una superficie
dello spazio.
Ogni funzione del tipo z = f(x, y) , a due variabili numeriche indipendenti, rappresenta così una superficie
dello spazio.
03 - Funzioni iniettive, suriettive, biunivoce.
Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente y = f(x) che rappresenta una curva nel
piano 0xy .
Consideriamo che il dominio di questa funzione sia l'insieme A . Supponiamo che B sia un insieme
di valori della y . Supponiamo che A ed B siano due intervalli (segmenti limitati).
Si hanno allora alcuni casi di particolare importanza.
Una funzione si dice "1-1" od iniettiva se ogni immagine è immagine di un solo elemento del dominio,
ovvero se non c'è nessun elemento del codominio che è immagine di più elementi del dominio :
Una funzione si dice "più a 1" se una immagine (o più) è immagine di più elementi del dominio,
ovvero se più elementi del dominio hanno la stessa immagine :
Una funzione si dice "su" o suriettiva se il codominio della funzione coincide col secondo insieme
(nel nostro caso B ) :
Una funzione si dice "1-1 su" o biunivoca se è contemporaneamente 1-1 e su :
04 - Invertibilità di una funzione.
Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottiene invertendo tutte le coppie
ordinate che fanno parte della relazione. Si ha allora che il dominio della relazione diventa il codominio
della relazione inversa e viceversa.
Cioè se la coppia (a, b) appartiene alla relazione R , la coppia (b, a) apparterrà alla relazione
inversa R ¯ ¹ .
Graficamente, per "disegnare" la relazione inversa, basta fare l'immagine speculare del grafico della
relazione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante :
L'immagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di 180° rispetto alla suddetta
bisettrice.
Proviamo allora ad invertire una funzione. Supponiamo che la funzione f sia più a 1. Facendo l'immagine
speculare del suo grafico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante si ha però una sorpresa "spiacevole" :
la funzione che si ottiene, f ¯ ¹ , non è più una funzione !!! Ad un elemento del dominio corrispondono più
elementi del codominio. Cade così uno dei presupposti perché una relazione sia una funzione.
Proviamo adesso ad invertire una funzione biunivoca. In questo caso si ottiene una funzione !!!
Abbiamo così scoperto un teorema della massima importanza in matematica :
"una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca".
Fine.