Consideriamo un corpo che cade perché attratto dalla forza gravitazionale terrestre. Poiché questa
forza (che si chiama peso del corpo) è costante in ogni punto, se trascuriamo l'attrito che il corpo
subisce a causa della presenza dell'aria, il corpo cade verso terra movendosi di moto rettilineo
uniformemente accelerato (per il secondo principio della dinamica, F = m · a ).
L'accelerazione con cui un corpo (qualsiasi corpo) cade è a = 9.8 m/s² (circa). Questa accelerazione
viene denotata di solito con la lettera g .
Consideriamo che il corpo sia all'istante iniziale , t = 0 , ad una certa distanza da terra ed in quell'istante
esso sia fermo. Consideriamo per comodità l'origine dello spazio s = 0 nel punto stesso in cui si trova
il corpo al tempo t = 0 e l'orientazione della retta dello spazio s diretta verso il basso. Abbiamo così
definito un sistema di riferimento per il nostro esempio.
La formula che dà lo spazio in funzione del tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato è :
.
Nel nostro caso, al tempo iniziale t = 0 lo spazio iniziale è nullo così come la velocità iniziale per cui
la formula del moto si riduce a :
.
A questo punto, lasciamo cadere il corpo e contemporaneamente facciamo partire il cronometro.
Usando la suddetta formula e ricordando che a = 9.8 m/s² (circa) otteniamo per i primi 5 secondi
la seguente tabella oraria :
Se riportiamo questi dati in un grafico spazio-tempo otteniamo :
Si vede subito che il grafico che si ottiene non è rettilineo perché, accelerando il corpo uniformemente,
la sua velocità aumenta istante per istante.
La curva che si ottiene è una parabola con concavità rivolta verso l'alto (vedremo quando studieremo
la geometria analitica cosa si intende esattamente per parabola).
La velocità di questo corpo aumenta ogni istante. Geometricamente la velocità è la pendenza della curva
che rappresenta il grafico spazio-tempo del moto punto per punto. Questo deriva dal fatto che la velocità
è definita come il rapporto dello spazio fratto il tempo impiegato a percorrerlo per cui a parità di tempi, se
la velocità è maggiore, maggiore sarà di conseguenza lo spazio percorso e quindi la pendenza del grafico :
(qui abbiamo rappresentato le pendenze della curva ai tempi t = 1, 2, 3, 4, 5 evidenziando gli angoli
che le tangenti alla curva formano con l'asse dei tempi, angoli che risultano crescenti).
Concludiamo questo esempio sottolineando il fatto che il grafico stazio-tempo del moto è curvo ma
che la traiettoria del moto stesso è una retta !!! Questa precisazione è per evitare l'errore che molti
fanno confondendo le due cose. Qui stiamo studiando un moto rettilineo, cioè che avviene su di una
retta.
02 - Altro esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Consideriamo ora due automobili che si muovono con velocità costante pari a 108 km/h (30 m/s)
lungo una strada rettilinea. Supponiamo che le due auto siano alla distanza di 20 m l'una dall'altra
(consideriamo tale distanza presa fra il davanti di quella che segue e il retro di quella che precede).
Ad un certo istante, che consideriamo per comodità l'istante iniziale t = 0 , la macchina che precede
(la indichiamo con la sigla A1 ) improvvisamente inizia a frenare. Supponiamo che l'auto freni in modo
costante, con accelerazione negativa costante, e che la frenata duri 5 secondi prima che l'auto sia
completamente ferma.
L'auto che segue, indicata come A2 , supponiamo che inizi a frenare dopo un tempo di reazione di
1 secondo. Supponiamo anche che il "modo" di frenare dell'auto A2 sia lo stesso di quello dell'auto
A1 .
Prendiamo l'origine dello spazio ( s = 0 ) coincidente con il davanti dell'auto A2 all'istante iniziale t = 0 .
In questo modo abbiamo completato la definizione del sistema di riferimento.
Cosa succederà ? L'auto A2 tamponerà A1 ?
Questo esempio è molto interessante ed "istruttivo" in quanto ci può fare "meditare" sulla necessità
di porre sempre "opportune" distanze di sicurezza quando si guida !!!
All'istante iniziale t = 0 la situazione delle due auto è quindi la seguente :
Consideriamo ora il moto dell'auto A1 e deduciamone l'equazione spazio-tempo del moto.
Supponendo la frenata uniforme, ricaviamo l'accelerazione (negativa) corrispondente :
.
Il moto di A1 è un moto rettilineo uniformemente accelerato per cui la sua equazione spazio-tempo
sarà :
.
Nel nostro caso, essendo lo spazio iniziale di A1 pari a 20 m e la velocità iniziale 30 m/s , si avrà :
da cui, semplificando :
.
Consideriamo ora il moto agli istanti t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Otteniamo perciò, facendo i calcoli, la
seguente tabella oraria :
si noti che dopo t = 5 l'auto A1 , avendo completamente frenato, rimane ferma, per cui la sia
posizione (95) rimane costante nel tempo.
Consideriamo ora il moto dell'auto A2 limitandoci per semplicità a considerare che esso è un moto
rettilineo uniforme da t = 0 a t = 1 ( 1 secondo è il tempo di reazione di A2 ) mentre diventa
uniformemente accelerato in seguito allo stesso modo di A1 , perché si presuppone che le due auto
abbiano un identico sistema di frenata.
Otterremo allora la seguente tabella oraria :
(l'abbiamo ottenuta semplicemente aggiungendo a 30 (la posizione all'istante t = 1 ) la differenza
di spazio fra 47 - 20 della precedente tabella ecc.)
Riportiamo ora questi dati su un diagramma spazio-tempo e disegniamo i grafici del moto delle due
auto :
Dal grafico si vede bene che un po' prima dell'istante t = 4 l'auto A2 tamponerà l'auto A1 !!!
A questo punto sorge spontaneo ricordare il consiglio di rispettare sempre le distanze di sicurezza !!!
In questo modo, aumentando tale distanza, il grafico di A1 si "alza" e l'urto non avviene.
Sui testi di preparazione all'esame di guida è riportata la formula empirica :
.
Essa si ricava da considerazioni molto semplici su grafici del genere.
Magari è consigliabile applicarla ed approssimare il risultato per eccesso !
03 - Funzioni.
Una relazione f fra due insiemi A e B si dice che è una funzione se soddisfa le seguenti due
condizioni :
- 1 - D(f) = A
cioè il dominio della relazione deve essere uguale al primo insieme A
- 2 -
cioè ogni elemento del dominio deve avere un solo elemento corrispondente (detto anche
immagine) nel codominio
Le funzioni sono quindi dei particolari tipi di relazione, cioè una funzione è una relazione mentre
una relazione non è in generale una funzione. Per esserlo, una relazione, deve soddisfare le due
condizioni precedenti.
Esempi (diamo direttamente i grafici cartesiani delle relazioni) :
- 1 -
la relazione f indicata nel grafico non è una funzione perché il dominio di f non è
uguale ad A .
- 2 -
anche in questo caso la relazione f non è una funzione perché l'elemento c di A
ha due immagini.
- 3 -
la relazione f è in questo caso una funzione.
Le funzioni sono fra gli oggetti più importanti di tutta la matematica. In fisica, poi, le funzioni sono
sicuramente gli oggetti fondamentali.
La grande maggioranza delle relazioni che compaiono in fisica sono funzioni.
Anche i grafici spazio-tempo dati in questa pagina come esempi di moto uniformemente accelerato
sono funzione i cui domini sono l'insieme dei numeri maggiori o uguali a zero (il semiasse dei tempi).
Fine.