Il moto uniformemente accelerato (omettiamo per brevità l'aggettivo rettilineo) è un moto che
avviene con accelerazione costante.
L'accelerazione è il rapporto fra la variazione di velocità ed il tempo in cui avviene questa
variazione per cui :
dove
indica
la velocità finale, 
indica la velocità iniziale e t indica l'intervallo di tempo
considerato.
L'accelerazione può dirsi anche la variazione della velocità nell'unità di tempo in quanto ogni
numero può può rapportarsi ad 1 . Infatti, se per esempio in 5 secondi avviene una variazione di
velocità di 10 m/s , si ha una accelerazioni pari a 10 / 5 = 2 m/s² che è esattamente uguale a
2 / 1 m/s² , corrispondente cioè ad una variazione di velocità di 2 m/s nell'unità di tempo.
L'accelerazione si misura nel sistema internazionale (S.I.) in m/s² (metri al secondo quadrato).
Si ha un moto uniformemente accelerato quando su di un corpo agisce una forza costante (per
il 2' principio della dinamica, essendo F = m · a ).
Se l'accelerazione è positiva il corpo subisce un aumento uniforme di velocità. Per esempio se
in 5 secondi la velocità passa da 10 m/s a 20 m/s, si ha :
.
Se l'accelerazione è negativa il corpo subisce una diminuzione uniforme di velocità. Per esempio
se in 5 secondi la velocità passa da 20 m/s a 10 m/s, si ha :
.
L'accelerazione negativa, nel linguaggio comune, si chiama decelerazione. In fisica si usa però il solo
temine di accelerazione che può essere quindi positiva o negativa (il caso di accelerazione nulla
corrisponde al moto rettilineo uniforme che quindi è un caso particolare di moto rettilineo
uniformemente accelerato).
I grafici velocità-tempo nei due casi risultano :
Si noti che in entrambi i casi con
abbiamo indicato la velocità iniziale, ovvero la velocità del
corpo al tempo t = 0.
L'equazione velocità-tempo (equazione che lega matematicamente la velocità con il tempo) del
moto uniformemente accelerato è :
.
Questa formula può essere "letta" nel seguente modo :
"in un moto uniformemente accelerato con accelerazione a , la velocità v al tempo t è
uguale alla velocità iniziale al tempo t = 0 più il prodotto dell'accelerazione a per il tempo t ,
essendo tale prodotto la variazione di velocità nel tempo t "
Il fatto che a · t rappresenta la variazione di velocità nel tempo t lo si può comprendere immediatamente
ricordando che l'accelerazione è la variazione di velocità nell'unità di tempo. Questo significa
che se, per esempio, l'accelerazione fosse a = 2 m/s² , in 5 secondi si avrebbe una variazione di
velocità di 5 · 2 = 10 m/s .
Consideriamo ora l'equazione spazio-tempo (equazione che mette in relazione lo spazio con
il tempo) del moto uniformemente accelerato ed il relativo grafico.
In questa fase del nostro corso non siamo in grado di ricavare la formula di questa equazione perché
necessiterebbero alcune nozione di calcolo differenziale. Ci limitiamo per il momento a riportare
qui il risultato dandone più avanti una giustificazione geometrica.
L'equazione spazio-tempo del moto uniformemente accelerato è :
dove
è lo spazio
iniziale al tempo t = 0 ,
è la velocità iniziale sempre al tempo t = 0 ,
a è l'accelerazione del moto e t è il tempo finale. Graficamente, ricordando che stiamo sempre
considerando moti rettilinei, ovvero che avvengono su di una retta :
Al tempo iniziale t = 0 il corpo si trova allo spazio
, ovvero ad una distanza
rispetto all'origine
dello spazio. In quel medesimo istante iniziale t = 0 il corpo è dotato di una velocità iniziale
.
Dove si troverà il corpo all'istante t ? La risposta è data dall'applicazione della formula data appena
sopra.
Il grafico orario spazio-tempo corrispondente, nei 3 casi con accelerazione positiva, accelerazione
nulla (moto rettilineo uniforme) ed accelerazione negativa, è :
Si noti che nei casi di accelerazione diversa da 0 (sia positiva che negativa) il grafico non è rettilineo
(è una curva di secondo grado, ovvero una parabola). Si noti anche che la velocità iniziale
esprime
la "pendenza" che le curve hanno all'istante iniziale t = 0 .
Fra non molto, affronteremo in questo corso lo studio analitico delle curve ed allora sarà chiaro il
perché il grafico orario del moto uniformemente accelerato è una parabola.
Per il momento, di questa formula,
, possiamo dare la seguente giustificazione
geometrica.
Per questo occorre fare una considerazione preliminare. Consideriamo un corpo in moto rettilineo
uniforme dotato di velocità
. Il grafico velocità-tempo è come sappiamo :
Osservando il grafico, si può affermare che, essendo lo spazio s percorso dal corpo nel tempo t
uguale a
, questo spazio è uguale all'area del rettangolo
indicato in figura :
Questo risultato può essere esteso (omettiamo per semplicità la dimostrazione) anche ad un moto
uniformemente accelerato.
Si ha cioè che lo spazio s percorso nel tempo t è uguale all'area del trapezio indicato in figura.
Scomponiamo questa area nella somma delle aree
e 
.
Si ha evidentemente :
(area del rettangolo)
e :
(area del triangolo)
in quanto a · t corrisponde alla variazione di velocità fra l'istante iniziale t = 0 e l'istante t
corrispondente alla lunghezza del segmento AB .
Si ottiene quindi infine :
che è la formula cercata (abbiamo aggiunto ovviamente lo spazio iniziale
al tempo t = 0 ).
02 - Relazione d'ordine parziale.
Consideriamo un insieme A ed una relazione R definita su A . La relazione R sarà allora una
relazione da A ad A . Supponiamo che l'insieme A contenga gli elementi a , b , c ecc. cioè
sia :
A = {a, b, c, ...} .
Supponiamo che la relazione R soddisfi le seguenti proprietà :
- 1 - Se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora a è uguale a b e viceversa.
Cioè
.
La doppia freccia significa che la proprietà è vera nei due sensi (letta da sinistra verso
destra e viceversa).
Questa proprietà è riflessiva ed antisimmetrica.
- 2 - Se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c .
Cioè
.
Questa è la proprietà transitiva.
La relazione R che gode delle suddette proprietà si chiama relazione d'ordine parziale e l'insieme
A dotato di una tale relazione si chiama insieme parzialmente ordinato.
Una relazione d'ordine parziale si denota con il simbolo
(minore uguale).
Esempi :
- 1 - L'insieme dei numeri dotati dell'usuale relazione di minore uguale
. La verifica di
ciò è immediata.
- 2 - Un insieme di insiemi dotato della relazione di sottoinsieme
. Infatti :
Se
e 
allora A = B e viceversa.
Se
e 
allora 
.
03 - Relazione d'ordine (totale).
Consideriamo l'insieme A definito come sopra ed una relazione R definita su di esso.
Supponiamo che la relazione R soddisfi le seguenti proprietà :
- 1 - L'elemento a non è in relazione con se stesso.
Cioè
.
Questa proprietà si dice antiriflessiva.
- 2 - Se a è diverso da b allora o a è in relazione con b oppure b è in relazione con a .
Cioè
.
- 3 - Se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c .
Cioè
.
Questa è la proprietà transitiva.
La relazione R che gode delle suddette proprietà si chiama relazione d'ordine (totale) e l'insieme
A dotato di una tale relazione si chiama insieme (totalmente) ordinato.
L'aggettivo totale viene per brevità sottointeso.
Una relazione d'ordine si denota con il simbolo < (minore).
Esempio :
- 1 - L'insieme dei numeri dotati dell'usuale relazione di minore < . La verifica di ciò è
immediata.
- 2 - Un insieme di insiemi dotato della relazione di sottoinsieme proprio
non è un insieme
ordinato (ovvero
non è una relazione d'ordine) perché la seconda condizione non è
sempre verificata !!! (per due insiemi disgiunti, per esempio, non può essere che uno sia
sottoinsieme dell'altro né che il secondo lo sia del primo)
Fine.