Consideriamo il moto fra l'istante 1 e l'istante 4 e calcoliamo l'accelerazione fra questi due istanti.
Poiché l'accelerazione è definita come variazione di velocità nell'unità di tempo, si avrà :
,
dove
è la
velocità finale (all'istante finale) e 
è la velocità iniziale (all'istante iniziale).
Consideriamo ora il moto fra l'istante 0 e l'istante 4 . Si avrà :
.
L'accelerazione non cambia (come dovevamo aspettarci perché il moto è uniformemente accelerato)
e rimane la stessa se si prendono in considerazioni altri istanti e le relative velocità.
Disegniamo ora il grafico orario velocità-tempo di questo moto. Si ottiene così :
Si vede bene che ciò che si ottiene è una retta. Questo perché ad intervalli di tempo uguali
corrispondono variazioni di velocità uguali. Diremo allora che le variazioni di velocità sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo (raddoppiando gli intervalli di tempo le variazioni
di velocità raddoppiano, triplicando ... ecc.)
Se la velocità al tempo 0 fosse nulla, il grafico sarebbe del tipo :
dove la retta passa per l'origine. In questo caso velocità e tempi sono direttamente proporzionali.
Se l'accelerazione fosse nulla ( a = 0 ), la velocità sarebbe costante ( v = cost. ) quindi il grafico
orario del moto sarebbe del tipo :
ovvero una retta orizzontale.
03 - Relazione inversa.
Consideriamo la seguente relazione R da A a B :
Da questa relazione è possibile costruire la relazione inversa
da B ad A semplicemente
invertendo le coppie ordinate. La coppia (a , 1) diventa (1 , a) ecc. . Così facendo si inverte il
dominio con il codominio. Si ha cioè :
Abbiamo perciò mostrato con un esempio come si costruisce la relazione inversa di una relazione
data.
La definizione matematica esatta di relazione inversa è :
.
Le relazioni inverse ci saranno molto utili in seguito, specialmente nel grande capitolo delle funzioni
numeriche.
04 - Classi di equivalenza. Partizione.
Consideriamo l'insieme di alcuni amici. Chiameremo A questo insieme ed indicheremo con le lettere
minuscole i singoli amici. Supponiamo che sia A = {a, b, c, d, e, f} . Supponiamo anche che :
a abbia 15 anni
b '' 17 ''
c '' 20 ''
d '' 17 ''
e '' 15 ''
f '' 50 '' .
Creiamo la relazione R da A ad A definita dall'affermazione "avere la stessa età" . Graficamente :
Supponendo che ogni amico abbia la stessa età di se stesso, la relazione R è evidentemente una
relazione di equivalenza perché soddisfa alle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Consideriamo ora un elemento dell'insieme A , per esempio a , e costruiamo l'insieme degli elementi
in relazione con esso (cioè equivalenti ad esso). Indicando questo insieme col simbolo [a] otterremo
allora :
[a] = {a, e} .
Questo insieme si chiama classe di equivalenza di a .
Facendo la stessa cosa per gli altri elementi di A (e ripetendo ancora [a] ) otteniamo :
[a] = {a, e}
[b] = {b, d}
[c] = {c}
[d] = {b, d}
[e] = {a, e}
[f] = {f}
La definizione matematica di classe di equivalenza è allora :
.Si noti a questo punto una proprietà molto importante. L'insieme l'unione di tutte le classi di
equivalenza indotte dalla relazione R sull'insieme A dà esattamente l'insieme A .
Si noti anche che le classi diverse sono disgiunte a due a due, cioè non hanno elementi in comune.
In altre parole si dice che una relazione di equivalenza induce in un insieme una partizione del
medesimo in classi di equivalenza, lo scompone cioè nelle sue classi di equivalenza.
Questa proprietà è di estrema importanza ed è, per esempio, alla base della teoria dei numeri
che studieremo presto.
Fine.