Abbiamo visto in precedenza che una forza costante produce un aumento continuo della velocità
di un corpo ad essa soggetto. Quando un corpo cambia la propria velocità si dice che accelera.
Desumemmo che una forza costante produce allora una accelerazione costante.
Naturalmente consideriamo tutti i moti rispetto ad un sistema di riferimento perché non esiste
il moto "assoluto". Se poi scegliamo un sistema di riferimento inerziale avremo sicuramente
dei vantaggi di semplicità nella descrizione del moto dei corpi.
Tutte le considerazioni che seguiranno saranno allora riferite ad un sistema di riferimento inerziale.
Abbiano anche visto che raddoppiando la forza, il corpo (il medesimo) subisce una accelerazione
doppia, triplicando la forza, l'accelerazione triplica ecc. Possiamo quindi affermare che :
la forza è direttamente proporzionale all'accelerazione.
Ora ci domandiamo : cosa succede se teniamo costante la forza e raddoppiamo la massa del corpo
(ovvero la sua "quantità di materia") ?
Per capire questo potremmo prendere due corpi uguali al corpo del precedente esempio e fonderli,
unirli, assieme.
Intuitivamente possiamo azzardare la risposta. Se la massa raddoppia a parità di forza, l'accelerazione
si dimezza. Questo risultato è verificabile sperimentalmente in maniera molto semplice. Se poi la massa
triplicasse, sempre a parità di forza, l'accelerazione diverrebbe un terzo.
Possiamo allora riassumere questo risultato nell'affermazione :
massa ed accelerazione sono grandezze inversamente proporzionali.
I due risultati sopra espressi possono essere sintetizzati da una formula della massima importanza, fra
le più importanti di tutta la fisica. La formula, dovuta al grande Newton, è :
F = m · a
dove F indica la forza che agisce sul corpo, m la sua massa ed a la sua accelerazione.
Vediamo ora se questa formula "funziona bene", ovvero se è in grado di riportarci i risultati che
abbiamo sopra elencato.
Supponiamo di avere un corpo di massa 2 Kg e che su questo agisca una forza di 10 N (la lettera
N indica l'unità di misura del newton con cui si misurano le forze nel Sistema Internazionale (vedi
più avanti)). Sostituendo nella formula F = m · a (ed intuendo il valore dell'accelerazione) otteniamo :
10 N = 2 Kg · 5 m/s²
(l'accelerazione, essendo una variazione della velocità nel tempo, si misura in metri al secondo per
secondo, ovvero metri al secondo quadrato (vedi più avanti)).
Se raddoppiamo la forza, a parità di massa, dovremmo ottenere una accelerazione doppia, infatti :
20 N = 2 Kg · 10 m/s² .
Se teniamo la forza costante, per esempio 10 N , e l'applichiamo ad un corpo di massa doppia,
quindi 4 Kg, applicando al formula otteniamo :
10 N = 4 Kg · 2.5 m/s² .
Questo è esattamente ciò che ci aspettavamo, raddoppiando la massa, a parità di forza, l'accelerazione
dimezza.
Abbiamo così dimostrato che la formula che sintetizza il secondo principio della dinamica, F = m · a ,
è adatta ad esprimere i risultati sperimentali sopra elencati.
Aristotele, nella sua fisica, aveva invece erroneamente affermato che la forza è proporzionale alla
velocità. Cioè :
F = m · v
(dove v esprime la velocità del corpo).
Da questa formula si deduce che se la forza che agisce su un corpo è nulla, la velocità è di conseguenza
nulla. Aristotele non conosceva il principio d' inerzia !!! Noi invece sappiamo, grazie a Galileo, che se la
forza è nulla la velocità è costante.
02 - Alcune precisazioni sulle unità di misura sopra usate.
In fisica, ogni grandezza, dovendo esprimere fenomeni sperimentalmente verificabili, cioè misurabili,
deve essere espressa secondo certe unità di misura. Le unità di misura fisiche sono ovviamente
convenzionali e sono elencate nel cosiddetto Sistema Internazionale.
In fisica vi sono grandezze fondamentali, cioè non esprimibili in funzione di altre grandezze, e grandezze
derivate, cioè esprimibili in funzione di altre grandezze fondamentali.
La massa è una grandezza fondamentale e la sua unità di misura è il chilogrammo (kg). Il chilogrammo
è la massa di un certo cilindro di platino-iridio (una lega adatta a conservarsi "immutabile" nel tempo)
conservato a Parigi.
La velocità si misura in metri al secondo (m/s) (essendo la velocità definibile come spazio / tempo, dove
spazio e tempo sono grandezze fondamentali).
L'accelerazione si misura in metri al secondo per secondo (m/s²) (essendo l'accelerazione definibile come
variazione di velocità / tempo, quindi (m/s)/s , ovvero m/s² ).
La forza si misura in newton (N).
Per definire il newton si usa la formula F = m · a per cui :
1 N = 1 kg · 1 m / 1 s² .
Per avere un'idea "pratica", intuitiva, di quanto "valga" un newton si può considerare cosa succede ai
corpi ordinari della nostra esperienza quotidiana qui sulla superficie terrestre, sotto l'effetto della forza
gravitazionale.
Immaginiamo un corpo della massa di 1 kg. Su di esso agisce la forza di gravità con una forza
che lo attira verso il centro della terra. Questa forza si chiama peso del corpo :
Il corpo in questione, se lasciato cadere sotto l'effetto del suo peso, subisce una accelerazione pari
a circa 9.81 m/s² (questo dato è facilmente ricavabile sperimentalmente). Si ottiene allora :
F = 1 kg · 9.81 m/s²
cioè circa 10 N .
Questo significa che un corpo di 1 kg viene attratto con una forza (il suo peso) pari a circa 10 N.
1 N corrisponderà allora a circa un etto !!! Così abbiamo un'idea di cosa sia 1 N (newton).
03 - Sul concetto di massa.
Grazie alla formula di Newton F = m · a possiamo chiarire meglio il concetto di massa. Già abbiamo
affermato che la massa di un corpo è la sua "quantità di materia". Il concetto può essere meglio espresso
affermando che :
la massa esprime la resistenza che un corpo oppone a cambiare il suo stato di moto
ovvero :
la massa esprime l'attitudine che ha un corpo a permanere nel suo stato di moto, cioè esprime la
sua inerzia ai cambiamenti di moto.
Per questi motivi la massa, intesa in questo modo, è detta più esattamente massa inerziale.
04 - Dominio e codominio.
Consideriamo gli insiemi A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3} . Costruiamo fra essi la relazione :
R = {(a,2), (a,3), (b,2)}
Chiamiamo dominio di una relazione l'insieme degli elementi del primo insieme che sono interessati
nella relazione. Denominiamo il dominio di R col simbolo D(R) .
Chiamiamo codominio di una relazione l'insieme degli elementi del secondo insieme che sono interessati
nella relazione. Denominiamo il codominio di R col simbolo C(R) .
Nell'esempio considerato sopra avremo :
D(R) = {a, b} e C(R) = {2, 3}.
Il dominio ed il codominio di una relazione sono quindi sottoinsiemi rispettivamente del primo e del
secondo insieme su cui è costituita la relazione. In particolare il dominio ed il codominio possono
coincidere con il primo ed il secondo insieme (rispettivamente).
05 - Relazione identica.
Se consideriamo una relazione fra un insieme e se stesso per cui ad ogni elemento corrisponda se
stesso, otteniamo una relazione particolarmente importante, la cosiddetta relazione identica.
Per esempio, se A = {a, b, c, d, e}, la relazione identica in A (ovvero da A ad A ) è :
I = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)}
Si noti la particolare forma grafica a "diagonale "di una relazione identica.
06 - Relazione di equivalenza.
Consideriamo un insieme formato da cinque amici. Lo rappresentiamo come A = {a, b, c, d, e}.
Studiamo la relazione :
R = "a, b, d sono fratelli"
all'interno dell'insieme A dei cinque amici.
Rappresentiamo graficamente la relazione aggiungendo il fatto che ogni amico può essere
considerato fratello di se stesso (in matematica si fanno spesso "bizzarre" asserzioni, tipo questa,
che però non intaccano la logica, ma possono essere utili a creare opportune generalizzazioni) :
Si vede bene che questa relazione soddisfa tre importanti proprietà :
proprietà riflessiva : ogni elemento è in relazione con se stesso. Ovvero : a R a
proprietà simmetrica : se un elemento è in relazione con un altro, allora il secondo è in relazione
col primo. Ovvero : a R b ==> b R a
proprietà transitiva : se un elemento è in relazione con un secondo elemento ed il secondo elemento
è in relazione con un terzo elemento, allora il primo elemento è in relazione col
terzo elemento. Ovvero : a R b , b R c ==> a R c .
(si noti che per denotare che un elemento x è in relazione con un elemento y abbiamo usato la
scrittura x R y ).
Orbene, tutte le relazioni fra un insieme e se stesso che soddisfano le tre proprietà definite sopra
(riflessiva, simmetrica, transitiva) si chiamano relazioni di equivalenza e rappresentano un tipo
di relazione di fondamentale importanza per tutta la matematica.
Come altro esempio di relazione di equivalenza, consideriamo l'insieme dei triangoli e la relazione
U = "essere uguali".
Si può vedere facilmente che la relazione U è una relazione di equivalenza. Infatti
ogni triangolo è uguale a se stesso (proprietà riflessiva)
se un triangolo è uguale ad un altro, il secondo è uguale al primo (proprietà simmetrica)
se un triangolo è uguale ad un secondo ed il secondo triangolo è uguale ad un terzo, allora il
primo triangolo è uguale al terzo (proprietà transitiva).
Le relazioni di equivalenza sono alla base della teoria dei numeri (che studieremo presto).
Fine.