Il giovanissimo Luca (studente di scuola media) ci ha brillantemente esposto i seguenti concetti :
insieme, elemento di un insieme, appartenenza ad un insieme, insiemi uguali, sottoinsieme,
sottoinsieme proprio, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza.
02 - Coppia ordinata.
Consideriamo l'insieme A = {a , b} e l'insieme B = {1 , 2 , 3} . Se prendiamo un elemento di A ,
per esempio a , ed un elemento di B , per esempio 2 , possiamo costruire la coppia ordinata :
(a, 2)
dove è essenziale l'ordine con cui si scelgono gli elementi dai due insiemi. Il primo elemento della
coppia ordinata, quello scritto a sinistra, si chiama prima coordinata mentre il secondo, quello
scritto a destra, si chiama seconda ordinata :
Nei diagrammi di Venn una coppia ordinata viene rappresentata da una freccia che parte dalla prima
coordinata della coppia ordinata e punta alla seconda coordinata della medesima.
Vi è un altro modo molto proficuo di rappresentare le coppie ordinate utilizzando gli assi cartesiani :
Sugli assi cartesiani una coppia ordinata viene rappresentata con un punto come illustrato in figura.
Utilizzando gli assi cartesiani occorre sottolineare che l'insieme da cui si prendono le prime coordinate
va posto sull'asse delle ascisse (l'asse orizzontale) mentre l'altro insieme, da cui si prendono le seconde
coordinate, va posto sull'asse delle ordinate.
03 - Prodotto cartesiano.
L'insieme di tutte le coppie ordinate che si possono formare prendendo le prime coordinate dall'insieme
A e le seconde coordinate dall'insieme B si chiama prodotto cartesiano di A per B e si indica con :
A x B .
Il prodotto cartesiano A x B è definito allora da :
che si legge "il prodotto cartesiano dell'insieme A per l'insieme B è l'insieme di tutte le coppie
ordinate che si ottengono prendendo la prima coordinata in A e la seconda coordinata in B ".
Considerando gli insiemi A e B definiti sopra si ha allora :
A x B = {(a , 1), (a , 2), (a , 3), (b , 1), (b , 2), (b , 3)} .
Graficamente, usando i diagrammi di Venn, il prodotto cartesiano A x B sarà visualizzato come :
ovvero prendendo tutte le possibili frecce dagli elementi da A agli elementi di B .
Usando invece gli assi cartesiani si ottiene il seguente grafico :
dove si vede bene che le coppie ordinate del prodotto cartesiano sono indicate da tutti i possibili
punti che si possono ottenere considerando gli elementi dei due insiemi.
05 - Relazione.
In matematica, il concetto di relazione è analogo a quello del linguaggio comune. Vi è una relazione
quando elementi di un insieme sono legati in qualche modo con elementi di un altro insieme. Gli
elementi dei due insiemi possono essere di qualunque tipo ed il legame fra loro può essere di
qualsiasi natura.
In matematica, però, abbiamo bisogno di una definizione di relazione che sia chiara, univoca e che
sia espressa nei termini della teoria degli insiemi. Definizioni intuitive, lacunose ed imprecise non sono
ammissibili.
Una relazione fra due insiemi, in matematica, è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano
fra i due insiemi. Una relazione è quindi un insieme, ovvero un oggetto del tutto definito, per il quale
non è possibile alcuna ambiguità ed imprecisione.
Per esempio, rispetto agli insiemi A e B degli esempi precedenti, possiamo definire la relazione :
R = {(a , 2), (a , 3), (b , 2)}
che è palesemente un sottoinsieme di A x B e la possiamo visualizzare nei due modi :
Fra i due modi di visualizzazione, quello che utilizza gli assi cartesiani è di gran lunga il più "elegante"
ed "espressivo". D'ora in poi preferiremo in generale la rappresentazione cartesiana.
Presentiamo due esempi di relazione partendo da casi "concreti".
- 1 - Consideriamo l'insieme C formato dai componenti il nostro corso di cultura scientifica
di base presenti la sera del 12/12/03. Per comodità rappresentiamo le persone (gli
elementi di C ) con le lettere dell'alfabeto a, b, c, ... limitando il numero delle persone
a 6. Si ha allora :
C = {a, b, c, d, e, f} .
Supponiamo di considerare la relazione "essere stati in montagna a fare trekking assieme"
e chiamiamo questa relazione M .
Supponiamo che a sia stato in montagna con b e con d (separatamente), e che d lo
sia stato con f . Naturalmente sarà anche che b lo è stato con a , d con a e f con d .
Non sarà però che a è stato in montagna con f !!!
Per fare una relazione ci vogliono due insiemi. In questo caso abbiamo a disposizione il
solo insieme C per cui la relazione M sarà una relazione fra C e C (fra C e se
stesso), cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano C x C .
La relazione M sarà allora :
M = {(a, b), (a, d), (d, f), (b, a), (d, a), (f, d)}.
Riportiamo questa relazione M nel grafico :
- 2 - Consideriamo i seguenti insiemi formati da nomi di persona :
N1 = {sandro, luca, maria} e N2 = {mario, aldo, franca, marina}.
Consideriamo le relazioni :
R1 "avere la stessa lettera iniziale"
R2 "avere lo stesso numero di lettere"
R3 "avere un numero di lettere maggiore".
Visualizziamo direttamente le tre relazioni :
Fine.