Il metodo per misurare la circonferenza della terra di Eratostene portò ad un risultato piuttosto preciso,
considerati i tempi. Esso si basa su considerazioni geometriche molto semplici. Le mostriamo qui
descritte senza riportare i dati numerici in possesso di Eratostene né il valore numerico del risultato
finale. Riportiamo quindi il solo procedimento.
Eratostene sapeva che le città di Alessandria d'Egitto e Siene (l'attuale Assuan) sono pressoché sullo
stesso meridiano terrestre e sapeva che Siene si trova sul tropico del cancro.
Egli conosceva anche la distanza fra le due città. Indichiamo questa distanza con d ed indichiamo con
c la lunghezza della circonferenza terrestre.
Il giorno del solstizio d'estate il sole, a mezzogiorno, è a picco sulla città di Siene (la verifica empirica
di ciò la si ottiene se si vede l'immagine del sole rispecchiata in fondo ad un pozzo abbastanza profondo).
Orbene un giorno di solstizio d'estate, Eratostene misurò ad Alessandria l'angolo che i raggi di luce
del sole formavano con un asta verticale al terreno. Chiamiamo α quest'angolo (misurato in gradi) e
notiamo che esso è uguale all'angolo formato al centro della terra O dai reagi così come mostrato
in figura. L'uguaglianza di questi due angoli dipende dal fatto che i raggi di luce che provengono dal
sole ed illuminano la terra sono, essendo il sole molto distante, fra loro paralleli.
Infine, conoscendo d ed α , ricordando che la misura dell'intero angolo giro è 360° , si può scrivere
la proporzione :
d : c = α : 360°
da cui si ottiene :
c = d · 360° / α
che dà appunto la misura della lunghezza della circonferenza terrestre cercata.
02 - Ancora sui sistemi di riferimento inerziali e non.
In fisica, per descrivere il moto dei corpi, è necessario definire un sistema di riferimento. Non esiste,
infatti, il moto "assoluto".
Normalmente, si sceglie un sistema tridimensionale formato da tre assi cartesiani perpendicolari
(ortogonali) a cui rapportare le posizioni (coordinate) dei corpi. Assieme a questo sistema di
riferimento spaziale occorre scegliere un cronometro per misurare il tempo.
Per semplificare, supponiamo ora di considerare un sistema di riferimento bidimensionale (lo
"quadrettiamo" per comodità) e rapportare ad esso il moto di un corpo che si muove su di un
piano.
Rispetto a questo sistema di riferimento si possono avere in sintesi le seguenti possibilità (il corpo in
questione è rappresentato da un quadretto nero ed il tempo intercorso tra la posizione del corpo in
un quadretto e la posizione in quello successivo è sempre di un secondo) :
- 1 - corpo in quiete (la sua posizione, cioè le sue coordinate x y , non cambiano col tempo) :
- 2 - corpo in moto rettilineo uniforme (in tempi uguali compie spazi uguali) :
anche obliquamente :
- 3 - moto rettilineo accelerato positivamente (la velocità aumenta) :
- 4 - moto rettilineo accelerato negativamente o decelerato (la velocità diminuisce) :
- 5 - moto vario :
Se sul corpo non agiscono forze (o la loro risultante è nulla) ed il corpo è inizialmente fermo,
esso rimane fermo (rispetto al sistema di riferimento scelto). Se sul corpo non agiscono forze
(o la loro risultante è nulla) ed il corpo è in moto, esso prosegue di moto rettilineo uniforme
(rispetto al sistema di riferimento scelto). Questo è il principio d'inerzia (o primo principio
della dinamica) ed i sistemi di riferimento rispetto ai quali si verifica ciò si dicono sistemi di
riferimento inerziali.
Consideriamo ora un autobus sul pavimento del quale è disegnato un sistema di riferimento
bidimensionale (del tipo sopra rappresentato). Supponiamo anche che l'autobus sia privo di
sedili ed il suo pavimento sia completamente liscio (questo per ridurre al minimio gli attriti che
complicano e disturbano sempre le osservazioni e le misure fisiche).
Supponiamo che sull'autobus vi siano corpi di massa diversa (per esempio i corpi A , B e C ).
Supponiamo che l'autobus sia fermo e che i tre corpi siano fermi rispetto ad esso.
Supponiamo che l'autobus successivamente esegua una partenza brusca :
Rispetto al sistema di riferimento solidale con l'autobus, i tre corpi A , B e C subiranno la stessa
accelerazione, opposta a quella dell'autobus che sta partendo. I tre corpi verranno sbalzati verso il
fondo dell'autobus movendosi allo stesso modo (sempre rispetto all'autobus) indipendentemente
dalla loro massa (gli attriti sono ridotti al minimo a causa del pavimento liscio).
Supponiamo ora che l'autobus si muova di moto rettilineo uniforme e che i tre corpi A , B e C
siano in quiete rispetto ad esso.
Supponiamo poi che l'autobus esegua una frenata brusca :
Come nel caso precedente, i tre corpi A , B e C subiranno la stessa accelerazione, opposta a
quella dell'autobus. I tre corpi verranno sbalzati in avanti movendosi allo stesso modo (sempre
rispetto all'autobus) indipendentemente dalla loro massa (gli attriti sono ridotti al minimo a causa
del pavimento liscio).
In entrambi gli esempi, rispetto al sistema di riferimento solidale con l'autobus, ad un tratto e senza
l'azione di una forza reale (gravitazionale, elettromagnetica o nucleare) i corpi A , B e C cambiano
il loro stato di moto. Da fermi (rispetto all'autobus) improvvisamente si mettono in moto.
In questi due esempi il principio d'inerzia viene violato ed il sistema di riferimento in esame non è un
sistema di riferimento inerziale. I corpi, in esso, sembrano soggetti a forze non reali che per questo
motivo si dicono apparenti.
Sottolineiamo infine ancora una volta che le accelerazioni a cui sono soggetti i corpi (che non sono
sottoposti ad altre forze reali) sono indipendenti dalle masse. Questo fatto è di estreme importanza
e costituisce il punto di partenza della costruzione della teoria della relatività generale.
03 - Aristarco di Samo (III sec. a. C.) : misura della distanza terra-luna.
Il metodo della misurazione della distanza terra-luna di Aristarco è molto ingegnoso e portò ad un
risultano poco preciso solo a causa della imprecisa valutazione di certi dati iniziali e non per errore
di procedimento.
Anche qui, come sopra, riportiamo solo il procedimento senza i calcoli. Per non complicare troppo
la trattazione, inoltre, ci limiteremo, in certi passaggi, alle sole considerazioni qualitative.
Il metodi di Aristarco si basa sui seguenti punti in sequenza (i grafici sono su scala arbitraria) :
- 1 - valutazione del rapporto fra distanza terra-sole (s) e distanza terra-luna (l) :
in situazione di luna illuminata a metà (primo quarto) e con ombra in asse con la terra i
raggi del sole colpiscono la luna formando con la terra un triangolo rettangolo.
Il rapporto l / s si ricava perciò da semplici considerazioni trigonometriche.
- 2 - valutazione del rapporto fra diametro luna (dl) e diametro sole (ds) :
il sole e la luna hanno, rispetto alla terra, lo stesso diametro apparente, ovvero sono
visibili sotto lo stesso angolo. Ciò è verificabile direttamente durante una eclissi totale
di sole.
Osservando la figura, si vede bene che il rapporto fra diametro luna e diametro sole
è uguale al rapporto precedentemente trovato fra distanza terra-luna e distanza
terra-sole per cui :
dl / ds = l / s .
- 3 - valutazione della distanza terra-luna :
poniamoci ora nella situazione di una eclissi totale di luna di massima durata. In una
situazione del genere è possibile calcolare il diametro della luna (dl) . Per fare questo
Aristarco misurò il tempo che la luna impiegava ad entrare completamente nel cono
d'ombra della terra ed il tempo in cui la luna stava completamente dentro il cono
d'ombra. Il rapporto inverso di questi due tempi dà la larghezza del cono d'ombra
(lc) espressa in diametri lunari.
Con non complicate proporzioni e considerando i risultati ottenuti in precedenza, è
possibile ricavare il diametro lunare (dl) .
A questo punto, conoscendo il diametro lunare (dl) e l'angolo con cui la luna è vista
dalla terra, con una semplice proporzione è possibile ricavare la lunghezza dell'orbita
(circolare) che la luna compie attorno alla terra e quindi, infine, la distanza terra-luna (l) .
04 - Meccanica quantistica.
Fra tutte le teorie quantistiche riportiamo qui quella che ne costituisce il nucleo, la meccanica
quantistica.
Essa si basa essenzialmente sui seguenti principi :
- 1 - Principio di indeterminazione (Heinsenberg, 1927) : non si possono conoscere
contemporaneamente posizione e velocità di un corpo con la precisione che si
desidera. Vi è un limite naturale invalicabile a questa precisione indicato dalla
costante di Planck (circa 10 alla -30).
Questo principio, dal contenuto "drammaticamente" negativo, afferma in altre parole
che all'uomo non è dato di "conoscere" la realtà fisica con la precisione che desidera.
Vi è un limite invalicabile insito nella natura stessa delle cose.
In altre parole, il disturbo apportato ad un sistema dai processi di misura è qualcosa
di non completamente eliminabile.
Per chiarire questo concetto e dare al principio di indeterminazione una giustificazione
concreta supponiamo di volere misurare la posizione di un elettrone. Per potere fare
ciò occorre "illuminarlo" con una raggio di luce. In questo modo si può misurare la sua
posizione.
Per potere misurare la posizione di un elettrone con una certa precisione occorre
illuminarlo con luce di lunghezza d'onda almeno dell'ordine delle dimensioni dell'elettrone
stesso e per avere una maggiore precisione occorre che la luce abbia una lunghezza
d'onda via via minore.
Se in un'onda diminuiamo la lunghezza d'onda abbiamo in corrispondenza un aumento
della sua frequenza :
D'altra parte sappiamo che la luce è costituita da fotoni che non sono altro che
particelle dotate di un'energia pari al prodotto di una costante (la costante di
Planck !) per la frequenza stessa della luce :
E = h · ν (dove E è l'energia, h è la costante di Planck e ν ("ni") è la frequenza).
Illuminando un elettrone con luce di alta frequenza in pratica lo si bombarda con
particelle dotate di grande energia. Risultato :
nel misurare la posizione dell'elettrone lo disturbiamo a tal punto da imprimergli
una grande energia tale da farlo "sbalzare" con una velocità del tutto imprevedibile
e questo in misura maggiore aumentando la precisione desiderata :
Il principio di indeterminazione può essere anche formulato affermando che i corpi
"microscopici" non compiono traiettorie continue per cui, in meccanica quantistica,
il concetto di traiettoria continua, che è alla base della meccanica classica, decade :
sul movimento dei corpi non si può fare nessuna affermazione deterministica. Al più
si può conoscere la probabilità di trovare (facendo una misura) una particella in un
certo punto dello spazio.
La meccanica quantistica è quindi una teoria probabilistica in cui si può al massimo
determinare (in modo deterministico) la probabilità della posizione di una particella.
Né si deve pensare che le particelle seguono "nascostamente" la meccanica classica finché
non vengono "disturbate" da una misura. Se fosse così, per esempio, l'atomo non potrebbe
esistere perché i suoi elettroni, ruotando attorno al nucleo e seguendo la meccanica
classica, dovrebbero, per le leggi della meccanica classica stessa, perdere energia sotto
forma di radiazione elettromagnetica e cadere così nel nucleo (cosa che naturalmente
non accade !).
In meccanica quantistica si deve rinunciare definitivamente ad ogni nozione di moto
in termini di traiettoria continua !!! Al massimo si può pensare che la probabilità di
trovare una particella viaggia nello spazio. E' essa (la probabilità) che segue traiettorie
classiche !!!
Nella meccanica quantistica le particelle sono probabilistiche mentre le probabilità
sono deterministiche.
E' ovvio che con il principio di indeterminazione non è possibile costruire nessuna
fisica. Accanto a questo principio ve ne sono altri (riportati qui sotto) dal contenuto
positivo con i quali è possibile costruire una teoria fisica.
- 2 - Principio di corrispondenza : la meccanica quantistica non può esistere senza
la meccanica classica. Siccome non si può affermare nulla circa il moto dei corpi
quantistici (microscopici), per misurarne le proprietà dinamiche (posizione, velocità,
energia ecc.) li dobbiamo fare interagire con oggetti classici (macroscopici) che
seguono la meccanica classica e di cui, quindi, sappiamo "tutto". Tramite le
modificazione di questi oggetti classici (detti "strumenti di misura") siamo così in
grado di avere informazioni sugli oggetti quantistici.
- 3 - Principio di sovrapposizione : un corpo (od un sistema di corpi) si può trovare
contemporaneamente in più stati. Un corpo può cioè, per esempio, avere
diversi valori di energia. Solo attraverso il processo di misura si determina un
valore ben preciso. Più precisamente, un corpo potrebbe essere in uno stato
corrispondente all'energia 1 ed dall'energia 2 con una probabilità per ciascuno
dei due valori. Potrebbe essere all'energia 1 al 30 % ed all'energia 2 al
70 % . Ciò significa che facendo molte misure, il corpo verrà trovato il 30 %
dei casi con energia 1 ed il 70 % dei casi con energia 2 .
Questi principi sono in apparente antitesi con il "buon senso". La meccanica quantistica è allora
una grande dimostrazione di come il cosiddetto "buon senso" sia erroneo e fuorviante, perché
prodotto dall'esperienza di vita in un ambiente di cui i nostri sensi ne avvertono solo alcuni aspetti.
La meccanica quantistica diventa la meccanica classica se si considera la costante di Planck nulla,
ovvero se si immagina di considerare grande a piacere la precisione con cui misurare posizione e
velocità dei corpi.
Considerando che la costante di Planck è molto piccola, la meccanica classica vale molto bene per
un enorme quantità di fenomeni.
Solo quando ci spingiamo nell'infinitamente piccolo (nel mondo degli atomi e delle particelle) essa
non vale più ed è allora che diventa valida la meccanica quantistica.
Fine.