Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Vettori nelle varietà
Vediamo ora come definire i vettori di una varietà bidimensionale in un modo che siano la naturale
estensione di quelli di R² .
Estenderemo successivamente i risultati qui trovati a varietà n-dimensionali.
Nel caso in cui la varietà sia un piano i vettori su di essa sono ovviamente i vettori ordinari. Nel caso
in cui la varietà sia curva, invece, la definizione di vettore non è del tutto immediata. Vediamo come il
concetto di vettore sul piano possa essere esteso ad una superficie curva.
Consideriamo a questo proposito un vettore tangente alla usuale superficie bidimensionale S nel punto P . Esso
può essere immaginato avere origine nel punto P di coordinate
e passare per il punto Q (sempre
appartenente alla superficie S ) infinitamente vicino a P e di coordinate
.
Supponendo che questo vettore abbia modulo R , lo indicheremo con :
dove i = 1 , 2 , 3 , e lo chiameremo vettore di superficie o tangente.
Graficamente :
Le coordinate cartesiane de punti della superficie S sono legati alle coordinate curvilinee dalle note
equazioni parametriche :
ed i relativi differenziali sono legati dalle note :
dove i = 1 , 2 , 3 , j = 1 , 2 .
Le componenti del vettore
possono essere scritte in funzione delle componenti del vettore
(è il
vettore PQ ) utilizzando i coseni direttori ovvero i rapporti fra
le
componenti del vettore PQ e la sua lunghezza ds .
Il significato geometrico dei coseni direttori è mostrato nel grafico (per semplicità in R² ) :
Poiché la lunghezza del vettore
moltiplicata per i coseni direttori dà le componenti del vettore,
si ha quindi :
da cui, con la solita formula dei differenziali, si ottiene infine :
dove i = 1 , 2 , 3 e k = 1 , 2 (ricordarsi di fare sempre le somme rispetto agli indici ripetuti) che
esprime la relazione fra le componenti del vettore di superficie
e le corrispondenti variazioni
infinitesime dei parametri
della superficie nel passare dal punto P al punto Q .
Introduciamo a questo punto il vettore controvariante :
dove i = 1 , 2 .
Che
sia un
vettore controvariante è garantito dal fatto che è ottenuto dividendo un vettore
controvariante per uno scalare.
Gli
sono gli analoghi dei coseni direttori del vettore
per cui si chiamano parametri della
direzione.
I parametri della direzione sono legati dalla formula :
dove i , k = 1 , 2 e che si ottiene da
dividendo ambo i membri per ds² .
A partire dal vettore controvariante
si può costruire il vettore covariante 
definito da :
con i , k = 1 , 2 , le cui componenti sono dette momenti.
Poiché il determinante del tensore metrico è diverso da zero (positivo), si possono ricavare
le
in
funzione delle
. Si ottiene :
con i , k = 1 , 2 , dove il tensore controvariante
è il tensore inverso di 
cioè tale che :
essendo :
la cosiddetta delta di Kronecker.
Fra i parametri ed i momenti vale ovviamente la relazione :
.
Vale anche la relazione :
.
Ora definiamo i vettori :
dove i = 1 , 2 ed R indica il modulo del vettore
.
Il primo è un vettore controvariante ed il secondo è covariante. Essi soddisfano le seguenti
relazioni :
dove i , k = 1 , 2 (naturalmente R² è qui il quadrato di R !!!) che si ricavano dalle analoghe
formule che soddisfano le
e le
.
A questo punto siamo in grado di scrivere la relazione che intercorre fra le componenti del
vettore
(con i = 1 , 2 , 3 ) e quelle del vettore 
(con i = 1 , 2) .
Ricordando che
, come abbiamo visto sopra, si ottiene infine :
dove i = 1 , 2 , 3 e k = 1 , 2 .
Il vettore controvariante
(oppure il suo omologo 
covariante) è il vettore corrispondente
al vettore
espresso nelle coordinate curvilinee della superficie.
Questo risultato è di fondamentale importanza perché permette di costruire vettori "dentro" le
varietà curve.
Dato un vettore
di una varietà curva è possibile calcolare direttamente il corrispondente
vettore
dello spazio euclideo che contiene la varietà stessa e viceversa.
Il modo qui esposto di definire i vettori dentro una varietà bidimensionale sarà poi esteso alle varietà
n-dimensionali.
Questa definizione di vettore dentro la varietà è la naturale generalizzazione della definizione di vettore
in uno spazio euclideo. Infatti, si parte da due punti infinitamente vicini P e Q della varietà e si calcolano
i rapporti fra le differenze delle coordinate curvilinee
e la distanza ds . Si moltiplicano i risultati
così trovati per un numero che rappresenta il modulo del vettore e si ottengono così le coordinate del vettore
della varietà.
Le differenze stesse
costituiscono un vettore dentro la varietà perché :
.
Si noti anche a questo proposito l'identità formale fra la
e la .
Se la varietà fosse un piano e le coordinate curvilinee fossero le usuali coordinate cartesiane, si otterrebbe
un "usuale" vettore del piano perché i rapporti delle
con ds sono i due coseni direttori del vettore.
Sottolineiamo che questo modo di definire i vettori dentro le varietà soddisfa naturalmente (come deve essere)
anche i requisiti della geometria intrinseca in quanto si utilizzano solo le coordinate curvilinee della varietà.
Fine.
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