E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Vettori nelle varietà


Vediamo ora come definire i vettori di una varietà bidimensionale in un modo che siano la naturale 
estensione di quelli di  R² .

Estenderemo successivamente i risultati qui trovati a varietà n-dimensionali.

Nel caso in cui la varietà sia un piano i vettori su di essa sono ovviamente i vettori ordinari. Nel caso
in cui la varietà sia curva, invece, la definizione di vettore non è del tutto immediata. Vediamo come il 
concetto di vettore sul piano possa essere esteso ad una superficie curva.

Consideriamo a questo proposito un vettore tangente alla usuale superficie bidimensionale  S  nel punto  P . Esso 
può essere immaginato avere origine nel punto  P  di coordinate    e passare per il punto  Q  (sempre
appartenente alla superficie  S ) infinitamente vicino a  P  e di coordinate  .

Supponendo che questo vettore abbia modulo  R  , lo indicheremo con :

         

dove  i  =  1 , 2 , 3  , e lo chiameremo vettore di superficie o tangente.

Graficamente : 



Le coordinate cartesiane de punti della superficie  S  sono legati alle coordinate curvilinee dalle note 
equazioni parametriche :

       

ed i relativi differenziali sono legati dalle note :

       

dove  i = 1 , 2 , 3  ,  j = 1 , 2 .

Le componenti del vettore    possono essere scritte in funzione delle componenti del vettore  
  (è il vettore  PQ ) utilizzando i coseni direttori ovvero i rapporti fra le 
componenti del vettore  PQ  e la sua lunghezza  ds . 

Il significato geometrico dei coseni direttori è mostrato nel grafico (per semplicità in  R² ) :



Poiché la lunghezza del vettore    moltiplicata per i coseni direttori dà le componenti del vettore, 
si ha quindi :

       

da cui, con la solita formula dei differenziali, si ottiene infine :

         

dove  i = 1 , 2 , 3  e  k = 1 , 2  (ricordarsi di fare sempre le somme rispetto agli indici ripetuti) che
esprime la relazione fra le componenti del vettore di superficie    e le corrispondenti variazioni
infinitesime dei parametri  della superficie nel passare dal punto  P  al punto  Q .

Introduciamo a questo punto il vettore controvariante :

       

dove  i = 1 , 2 .

Che  sia un vettore controvariante è garantito dal fatto che è ottenuto dividendo un vettore 
controvariante per uno scalare.

Gli  sono gli analoghi dei coseni direttori del vettore  per cui si chiamano parametri della 
direzione

I parametri della direzione sono legati dalla formula :

       

dove  i , k = 1 , 2  e che si ottiene da    dividendo ambo i membri per  ds² .

A partire dal vettore controvariante    si può costruire il vettore covariante    definito da :

       

con  i , k = 1 , 2 , le cui componenti sono dette momenti.

Poiché il determinante del tensore metrico è diverso da zero (positivo), si possono ricavare
le    in funzione delle  . Si ottiene :

       

con  i , k = 1 , 2 , dove il tensore controvariante  è il tensore inverso di  cioè tale che :

       

essendo :

       

la cosiddetta delta di Kronecker.

Fra i parametri ed i momenti vale ovviamente la relazione :

        .

Vale anche la relazione :

        .

Ora definiamo i vettori :

       

dove  i = 1 , 2  ed  R  indica il modulo del vettore  .

Il primo è un vettore controvariante ed il secondo è covariante. Essi soddisfano le seguenti 
relazioni :

       

dove  i , k =  1 , 2  (naturalmente  R²  è qui il quadrato di  R !!!) che si ricavano dalle analoghe 
formule che soddisfano le     e le  .

A questo punto siamo in grado di scrivere la relazione che intercorre fra le componenti del 
vettore    (con  i  = 1 , 2 , 3 ) e quelle del vettore  (con  i = 1 , 2) .

Ricordando che  , come abbiamo visto sopra, si ottiene infine :

         

dove  i = 1 , 2 , 3  e  k = 1 , 2 .

Il vettore controvariante  (oppure il suo omologo  covariante) è il vettore corrispondente  
al vettore  espresso nelle coordinate curvilinee della superficie.

Questo risultato è di fondamentale importanza perché permette di costruire vettori "dentro" le 
varietà curve.

Dato un vettore  di una varietà curva è possibile calcolare direttamente il corrispondente vettore 
dello spazio euclideo che contiene la varietà stessa e viceversa.

Il modo qui esposto di definire i vettori dentro una varietà bidimensionale sarà poi esteso alle varietà
n-dimensionali.

Questa definizione di vettore dentro la varietà è la naturale generalizzazione della definizione di vettore
in uno spazio euclideo. Infatti, si parte da due punti infinitamente vicini   P  e  Q  della varietà e si calcolano
i rapporti fra le differenze delle coordinate curvilinee    e la distanza  ds . Si moltiplicano i risultati 
così trovati per un numero che rappresenta il modulo del vettore e si ottengono così  le coordinate del vettore
della varietà. 

Le differenze stesse   costituiscono un vettore dentro la varietà perché  : 

        .

Si noti anche a questo proposito l'identità formale fra la    e la  . 

Se la varietà fosse un piano e le coordinate curvilinee fossero le usuali coordinate cartesiane, si otterrebbe
un "usuale" vettore del piano perché i rapporti delle    con  ds  sono i due coseni direttori del vettore.

Sottolineiamo che questo modo di definire i vettori dentro le varietà soddisfa naturalmente (come deve essere) 
anche i requisiti della geometria intrinseca in quanto si utilizzano solo le coordinate curvilinee della varietà.

Fine.

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