E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Varietà V² di R³


Il campo di applicazione sicuramente più interessante ed importante del calcolo tensoriale è la geometria 
differenziale delle varietà curve (spazi curvi che, nel caso bidimensionale, coincidono con le superficie) 
anche perché essa costituisce la base matematica della teoria della relatività generale di Einstein. 

Come vedremo in seguito, con il calcolo tensoriale si riesce a definire le proprietà intrinseche di una 
varietà tramite il tensore metrico fondamentale che la caratterizza senza più avere bisogno di considerare 
la varietà come immersa in uno spazio euclideo che la contenga.

Questo è un risultato di fondamentale importanza perché permette di generalizzare il concetto di metrica
ad uno spazio curvo (non euclideo) "relativizzando" la metrica euclidea. In definitiva, uno spazio euclideo 
è un semplice caso particolare fra gli infiniti tipi di spazi curvi possibili.

Conosciuto il tensore metrico fondamentale di una varietà, si deducono tutte le proprietà metriche di essa
a partire da esso.  Sarà allora possibile calcolare una geodetica (linea di minima lunghezza) o la curvatura  
della varietà in un punto semplicemente rifacendosi al tensore metrico della varietà. 

Costruiremo questa teoria per una varietà bidimensionale  V²  immersa nello spazio euclideo  R³  e
poi estenderemo nei prossimi capitoli i risultati qui trovati alle varietà n-dimensionali.

Passiamo ora alla definizione di varietà bidimensionale.

Una varietà bidimensionale  S  immersa in  R³  è una superficie ordinaria dello spazio ordinario dotata 
di alcune caratteristiche restrittive : 



Le equazioni parametriche della superficie  S  sono :

       

dove le coordinate cartesiane di  R³  sono le    (gli indici sono in alto a causa del carattere 
controvariante delle coordinate e non significano assolutamente elevamento a potenza !!!) ed i parametri 
della superficie sono  e sono definiti in un certo dominio  D . 

Dalla geometria analitica si sa che una superficie ha infinite rappresentazioni parametriche per cui le  
equazioni scritte sopra corrispondono solo ad una di esse. 

Si sa altresì che non tutti sistemi di tre equazioni in due incognite rappresentano una varietà bidimensionale. 
Perché la superficie non sia una curva "camuffata" oppure non abbia punti multipli, ovvero punti in 
cui la superficie passa più volte, occorre che lo jacobiano della trasformazione rappresentata dalle 
equazioni della superficie abbia rango due su tutto il dominio  D . Cioè :

        .

Occorre sottolineare che le equazioni della superficie devono determinare una corrispondenza biunivoca 
fra le coordinate cartesiane  e le coordinate curvilineee 

La condizione che lo jacobiano abbia rango due assicura che le suddette condizioni siano vere.

Infatti, supponendo che il minore formato dalle prime due righe abbia rango due (e questa non è 
una condizione restrittiva), si possono ricavare le    in funzione delle    dalle prime due 
equazioni e sostituirle nella terza equazione ottenendo così una equazione del tipo  :

         

che rappresenta appunto una varietà bidimensionale.

Inoltre, dati una coppia di valori di    ovviamente si determina (dalle equazioni della superficie) 
una terna (unica) di valori di  . Viceversa, se lo jacobiano ha rango due (con non nullo il 
minore formato dalle prime due righe), data una terna di valori di   che corrispondono ad 
un punto della superficie con  ,  si determina una sola coppia di valori di   per 
cui la biunivocità è assicurata.

Queste condizioni restrittive assicurano una necessaria semplificazione nelle considerazioni che 
seguiranno. Se le suddette condizioni non fossero soddisfatte per il dominio  D  delle , si 
tenti di cercare un sottoinsieme del dominio nel quale le condizioni siano soddisfatte. Se ciò
non è possibile, non siamo in presenza di una varietà.

Naturalmente restringiamo la nostra attenzione a superficie rappresentate da funzioni continue 
assieme alle loro derivate fino all'ordine che è necessario considerare.

Le variabili  sono le coordinate curvilinee della superficie ed ogni punto della superficie
è l'intersezione di due corrispondenti coordinate curvilinee (e viceversa). Infatti, sostituendo  
x¹ = costante  oppure  x²  = costante  alle equazioni della superficie, si ottiene una curva che giace 
sulla superficie e che passa per i punti che hanno la coordinata  x¹ = costante  oppure  x²  = costante .

La superficie può essere così immaginata come "ricoperta" da due infinità di linee curve, le coordinate 
curvilinee  x¹ = costante e le coordinate curvilinee  x²  = costante.

Fine.

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