Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Varietà V² di R³
Il campo di applicazione sicuramente più interessante ed importante del calcolo tensoriale è la geometria
differenziale delle varietà curve (spazi curvi che, nel caso bidimensionale, coincidono con le superficie)
anche perché essa costituisce la base matematica della teoria della relatività generale di Einstein.
Come vedremo in seguito, con il calcolo tensoriale si riesce a definire le proprietà intrinseche di una
varietà tramite il tensore metrico fondamentale che la caratterizza senza più avere bisogno di considerare
la varietà come immersa in uno spazio euclideo che la contenga.
Questo è un risultato di fondamentale importanza perché permette di generalizzare il concetto di metrica
ad uno spazio curvo (non euclideo) "relativizzando" la metrica euclidea. In definitiva, uno spazio euclideo
è un semplice caso particolare fra gli infiniti tipi di spazi curvi possibili.
Conosciuto il tensore metrico fondamentale di una varietà, si deducono tutte le proprietà metriche di essa
a partire da esso. Sarà allora possibile calcolare una geodetica (linea di minima lunghezza) o la curvatura
della varietà in un punto semplicemente rifacendosi al tensore metrico della varietà.
Costruiremo questa teoria per una varietà bidimensionale V² immersa nello spazio euclideo R³ e
poi estenderemo nei prossimi capitoli i risultati qui trovati alle varietà n-dimensionali.
Passiamo ora alla definizione di varietà bidimensionale.
Una varietà bidimensionale S immersa in R³ è una superficie ordinaria dello spazio ordinario dotata
di alcune caratteristiche restrittive :
Le equazioni parametriche della superficie S sono :
dove le coordinate cartesiane di R³ sono le
(gli indici sono in alto a causa del carattere
controvariante delle coordinate e non significano assolutamente elevamento a potenza !!!) ed i parametri
della superficie sono
e sono definiti in un certo
dominio D .
Dalla geometria analitica si sa che una superficie ha infinite rappresentazioni parametriche per cui le
equazioni scritte sopra corrispondono solo ad una di esse.
Si sa altresì che non tutti sistemi di tre equazioni in due incognite rappresentano una varietà bidimensionale.
Perché la superficie non sia una curva "camuffata" oppure non abbia punti multipli, ovvero punti in
cui la superficie passa più volte, occorre che lo jacobiano della trasformazione rappresentata dalle
equazioni della superficie abbia rango due su tutto il dominio D . Cioè :
.
Occorre sottolineare che le equazioni della superficie devono determinare una corrispondenza biunivoca
fra le coordinate cartesiane
e le coordinate curvilineee
.
La condizione che lo jacobiano abbia rango due assicura che le suddette condizioni siano vere.
Infatti, supponendo che il minore formato dalle prime due righe abbia rango due (e questa non è
una condizione restrittiva), si possono ricavare le
in
funzione delle 
dalle prime due
equazioni e sostituirle nella terza equazione ottenendo così una equazione del tipo :
che rappresenta appunto una varietà bidimensionale.
Inoltre, dati una coppia di valori di
ovviamente si determina (dalle equazioni della superficie)
una terna (unica) di valori di
. Viceversa, se lo jacobiano ha rango due (con non nullo il
minore formato dalle prime due righe), data una terna di valori di
che corrispondono ad
un punto della superficie con
,
si determina una sola coppia di valori di
per
cui la biunivocità è assicurata.
Queste condizioni restrittive assicurano una necessaria semplificazione nelle considerazioni che
seguiranno. Se le suddette condizioni non fossero soddisfatte per il dominio D delle
,
si
tenti di cercare un sottoinsieme del dominio nel quale le condizioni siano soddisfatte. Se ciò
non è possibile, non siamo in presenza di una varietà.
Naturalmente restringiamo la nostra attenzione a superficie rappresentate da funzioni continue
assieme alle loro derivate fino all'ordine che è necessario considerare.
Le variabili
sono le coordinate curvilinee della superficie ed ogni punto della
superficie
è l'intersezione di due corrispondenti coordinate curvilinee (e viceversa). Infatti, sostituendo
x¹ = costante oppure x² = costante alle equazioni della superficie, si ottiene una curva che giace
sulla superficie e che passa per i punti che hanno la coordinata x¹ = costante oppure x² = costante .
La superficie può essere così immaginata come "ricoperta" da due infinità di linee curve, le coordinate
curvilinee x¹ = costante e le coordinate curvilinee x² = costante.
Fine.
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