E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Varietà n-dimensionali


In questo capitolo mostriamo come i concetti relativi alla metrica di una varietà bidimensionale
immersa in uno spazio euclideo tridimensionale siano estendibili ad una varietà di dimensione  n
qualunque.

Una varietà n-dimensionale  è un insieme di punti rappresentati dalle n-ple ordinate 

       

dove le variabili reali  , con   i = 1 , 2 , ..., n  e che possono assumere opportuni valori, ne 
determinano le coordinate curvilinee (gli indici in alto non significano affatto elevamento a 
potenza !!!) .

Consideriamo su  i punti infinitamente vicini  .
La distanza  ds fa i punti  P  e  Q  , in analogia con quanto già visto per le  , è definibile 
dalla formula fondamentale :

       

dove  i , k = 1 , 2  , ... , n  ed è come al solito sottintesa la somma sugli indici ripetuti.

La formula suddetta determina la metrica della varietà  , ovvero tutte le sue proprietà
metriche, in modo intrinseco, cioè in dipendenza dalle sole coordinate curvilinee della varietà.

Il tensore metrico (tensore covariante di ordine  2  simmetrico) costituisce un sistema di   
n²  funzioni nelle variabili  . Le funzioni    sono supposte continue assieme alle loro derivate
prime e seconde.

La forma  ds²  deve essere una forma definita positiva. Forme non definite positive hanno però 
una grande importanza per la teoria della relatività generale (vedi apposito capitolo).

Il tensore controvariante è legato a  dalla formula :

         

dove  δ  è la delta di Kronecker (che vale  1  se gli indici sono uguali e  0  se gli indici sono 
diversi).

L'elemento di lunghezza infinitesimo  ds  è un invariante rispetto ad ogni sistema di coordinate 
curvilinee prese sulla varietà. Questo significa che se si compie una trasformazione di coordinate
sulla varietà, l'elemento  ds  rimane lo stesso.

Analogamente alle  si definiscono i parametri della direzione :

       

con  i  = 1 , 2  , ... , n  , che formano un vettore controvariante, ed i momenti :

       

con  i  = 1 , 2  , ... , n , che formano un vettore covariante. 

Fra parametri e momenti valgono le relazioni già viste per  .

Un vettore di  di modulo  R  è definito da :

       

con  i  = 1 , 2  , ... , n  per le sue componenti controvarianti e da 

       

per le sue componenti covarianti. Naturalmente fra essi valgono tutte le relazioni già viste per  .

In particolare, per passare dalle componenti covarianti a quelle controvarianti e viceversa valgono 
le formule :

       
       

dove  i , k = 1 , 2 , ... , n  e, come al solito, si deve sommare sugli indici ripetuti.

Consideriamo la trasformazione :

       

dove  p ≤ n  , le funzioni     sono continue con le loro derivate fino all'ordine che interessa 
considerare e lo jacobiano della trasformazione è di rango  p  .

Nel caso in cui  p = n , le formule suddette rappresentano un cambiamento di coordinate 
curvilinee sulla varietà. Si passa perciò dalle coordinate    alle coordinate 
.

Nel caso di  p < n  , le formule suddette individuano una sottovarietà di dimensione  p  
contenuta in  . Chiameremo questa sottovarietà con e diremo che è immersa in  .

Se  p = 1  , la sottovarietà sarà una linea di  . Se  p =  n - 1  la sottovarietà sarà una 
ipersuperficie di  .

La metrica di  sarà descritta dal tensore che si ottiene a partire da  (il tensore metrico 
di  ) sostituendovi i differenziali delle     fatti rispetto alle  .

Analogamente a  ,  anche su  è definito il concetto di spostamento parallelo ed i relativi 
simboli di Christoffel sono estesi a  n  dimensioni.

Nel caso in cui le    siano tutte costanti, la varietà si dice euclidea (come nel caso di  n = 2  
o  3 ) e le coordinate della varietà sono coordinate cartesiane ortogonali. In questo caso i 
simboli di Christoffell sono tutti nulli.

In generale, il tensore metrico non è costante in tutte le sue componenti e dipende ovviamente 
dalle coordinate curvilinee  della varietà. Inoltre, in generale, una trasformazione di 
coordinate qualunque non trasforma il tensore metrico in un tensore metrico a componenti costanti.

Vi sono allora due possibilità : 

        1 - è possibile trovare una trasformazione di coordinate che trasforma il tensore metrico  
             della varietà in un tensore a componenti costanti ovvero è possibile scegliere sulla
             varietà un sistema di coordinate cartesiane ortoginali

        2 - non è possibile trovare ...

Se si verifica la condizione  1  la varietà in esame è euclidea. Vedremo in seguito che condizioni 
deve soddisfare il tensore metrico perché la varietà sia euclidea (ovvero in essa sia possibile scegliere 
un sistema di coordinate cartesiane). 

In generale, però, una varietà    può essere sempre considerata come immersa in una varietà 
euclidea ad  N  dimensioni con  N ≥ n .

Deduciamo allora il numero  N  di dimensioni di uno spazio euclideo in cui in generale è immergibile 
una varietà a  n  dimensioni. 

Siano le equazioni di una varietà    immersa in  :

       

dove le    sono le coordinate cartesiane ortogonali di  .

Il tensore metrico   della varietà è legato alle coordinate dalla nota formula (estesa dal caso
bidimensionale al caso n-dimensionale) : 

       

dove  l = 1 , 2 , ... , N  ed  i , k = 1 , 2 , ..., n .

Poiché il tensore metrico è simmetrico, abbiamo così ottenuto    equazioni differenziali 
alle derivate parziali del primo ordine nelle  N  incognite  . Il sistema è risolubile quando almeno 
si ha : 

          .

Ciò significa che una varietà n-dimensionale è in generale immergibile in uno spazio euclideo a  
dimensioni od ad un numero maggiore di dimensioni.

Ciò non esclude, però, che particolari varietà siano immergibile in uno spazio euclideo a minor
numero di dimensioni. Se una varietà n-dimensionale è euclidea, ovviamente sarà immergibile
in uno spazio euclideo n-dimensionale.

Se  N  è il numero minore possibile di dimensioni di uno spazio euclideo in cui una  può 
essere immersa, il valore  N - n  è chiamata la classe della varietà. Poiché  N  non può 
essere minore di  n  , la minima classe di una varietà è  0 . Poiché, inoltre,  N , per essere 
minimo, non può essere maggiore di  , si deduce che la classe non può essere 
maggiore di  .

Ciò può essere esemplificato dal seguente schema :



Fine.

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