E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Tensore metrico fondamentale


In questo capitolo definiamo il tensore metrico di una varietà. Esso rappresenta sicuramente 
il tensore più importante di tutto il calcolo tensoriale. Lo faremo per una varietà a due dimensioni
immersa in  R³ che rappresenta il più semplice caso possibile. I risultati così trovati potranno poi
essere estesi in maniera del tutto naturale alle varietà n-dimensionali.

Come abbiamo già affermato, la conoscenza del tensore metrico di una varietà permette di conoscere 
tutte le proprietà metriche della varietà stessa ovvero permette di calcolare distanze sulla varietà, 
geodetiche (linee di minima lunghezza), curvature ecc. e ciò viene fatto utilizzando solamente le coordinate 
curvilinee della varietà, senza più utilizzare le coordinate cartesiane dello spazio euclideo che la contiene.

Tutto ciò è di fondamentale importanza e va sotto il nome di geometria intrinseca : la possibilità, cioè,
di descrivere tutte le proprietà metriche di una varietà intrinsecamente, tramite le sue sole coordinate 
curvilinee, "dimenticando" che la varietà è immersa in uno spazio euclideo.

Consideriamo una superficie  S  di  R³  le cui equazioni parametriche sono come al solito :

        .

Consideriamo un punto  P  sulla superficie  S  di coordinate : 

          

ed un punto  Q  anch'esso sulla superficie  S  ad esso infinitamente vicino di coordinate :

        .

Graficamente :



La lunghezza del segmento infinitesimo  PQ  è la distanza fra i due punti e viene solitamente 
chiamata elemento di linea ed indicato con ds .

L'elemento di linea  ds  è uno scalare invariante perché, cambiando il sistema di riferimento, esso 
non varia. 

Il segmento  PQ  , inoltre, tende a giacere completamente sulla superficie tanto più  P  e  Q  sono
vicini. L'elemento  ds  è quindi considerabile appartenere alla superficie, formare cioè un suo arco
infinitesimo
.

Applicando il teorema di Pitagora, risulta :

        .

Ora esprimiamo i differenziali delle varabili    in funzione dei differenziali delle variabili    
tramite le note formule del calcolo differenziale :

       

dove  i = 1 , 2 , 3  ,  j = 1 , 2 .

Sostituendo, dopo un semplice calcolo, si ottiene :

          con  i , k = 1 , 2

dove abbiamo posto :

          con  j = 1 , 2 , 3  e  i , k = 1 , 2.

(ricordarsi sempre di fare le somme sugli indici ripetuti !!!).

Le ultime due formule trovate sono le formule fondamentali del calcolo tensoriale 
applicato alle varietà.


Il sistema    è ovviamente un tensore covariante di ordine due (ciò deriva direttamente 
dal fatto che  ds  è un invariante ed i  dx  sono vettori controvarianti) ed è chiamato tensore
metrico fondamentale
della varietà. 

Il tensore    è funzione delle sole    e contiene in sé tutte le "informazioni" sulle 
proprietà metriche della varietà
. Ciò dipende dal fatto che l'elemento  ds  è determinato 
da    e, se si conosce   ds  , è  possibile allora misurare la lunghezza di una linea qualunque  
sulla superficie, trovare le linee di minima lunghezza (geodetiche), determinare la curvatura della 
superficie in ogni punto ecc. 

Abbiamo così introdotto il tensore metrico e dimostrato la sua "centralità" ed importanza in tutto il
calcolo tensoriale.

Ribadiamo ancora una volta il concetto.

La proprietà del tensore metrico di contenere in sé le proprietà metriche della varietà è di fondamentale 
importanza e porta alla conclusione che le proprietà "intrinseche" di una superficie sono tutte descrivibili 
tramite  senza più fare riferimento alle variabili  , cioè "ignorando" che la superficie è immersa 
nello spazio euclideo  R³ .

Si noti anche che    è un tensore simmetrico in quanto  per ogni  i  e  k .

Si ricordi anche che (dalla teoria delle forme quadratiche) condizione necessarie e sufficiente perché
ds²  sia positivo è che sia :

        .

Fine.

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