Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Tensore metrico fondamentale
In questo capitolo definiamo il tensore metrico di una varietà. Esso rappresenta sicuramente
il tensore più importante di tutto il calcolo tensoriale. Lo faremo per una varietà a due dimensioni
immersa in R³ che rappresenta il più semplice caso possibile. I risultati così trovati potranno poi
essere estesi in maniera del tutto naturale alle varietà n-dimensionali.
Come abbiamo già affermato, la conoscenza del tensore metrico di una varietà permette di conoscere
tutte le proprietà metriche della varietà stessa ovvero permette di calcolare distanze sulla varietà,
geodetiche (linee di minima lunghezza), curvature ecc. e ciò viene fatto utilizzando solamente le coordinate
curvilinee della varietà, senza più utilizzare le coordinate cartesiane dello spazio euclideo che la contiene.
Tutto ciò è di fondamentale importanza e va sotto il nome di geometria intrinseca : la possibilità, cioè,
di descrivere tutte le proprietà metriche di una varietà intrinsecamente, tramite le sue sole coordinate
curvilinee, "dimenticando" che la varietà è immersa in uno spazio euclideo.
Consideriamo una superficie S di R³ le cui equazioni parametriche sono come al solito :
.
Consideriamo un punto P sulla superficie S di coordinate :
ed un punto Q anch'esso sulla superficie S ad esso infinitamente vicino di coordinate :
.
Graficamente :
La lunghezza del segmento infinitesimo PQ è la distanza fra i due punti e viene solitamente
chiamata elemento di linea ed indicato con ds .
L'elemento di linea ds è uno scalare invariante perché, cambiando il sistema di riferimento, esso
non varia.
Il segmento PQ , inoltre, tende a giacere completamente sulla superficie tanto più P e Q sono
vicini. L'elemento ds è quindi considerabile appartenere alla superficie, formare cioè un suo arco
infinitesimo.
Applicando il teorema di Pitagora, risulta :
.
Ora esprimiamo i differenziali delle varabili
in funzione dei differenziali delle variabili 
tramite le note formule del calcolo differenziale :
dove i = 1 , 2 , 3 , j = 1 , 2 .
Sostituendo, dopo un semplice calcolo, si ottiene :
con i , k = 1 , 2
dove abbiamo posto :
con j = 1 , 2 , 3 e i , k = 1 , 2.
(ricordarsi sempre di fare le somme sugli indici ripetuti !!!).
Le ultime due formule trovate sono le formule fondamentali del calcolo tensoriale
applicato alle varietà.
Il sistema
è ovviamente un tensore covariante di ordine due (ciò deriva
direttamente
dal fatto che ds è un invariante ed i dx sono vettori controvarianti) ed è chiamato tensore
metrico fondamentale della varietà.
Il tensore
è funzione delle sole
e contiene in sé tutte le "informazioni" sulle
proprietà metriche della varietà. Ciò dipende dal fatto che l'elemento ds è determinato
da
e, se si conosce ds , è possibile allora misurare la lunghezza di una linea qualunque
sulla superficie, trovare le linee di minima lunghezza (geodetiche), determinare la curvatura della
superficie in ogni punto ecc.
Abbiamo così introdotto il tensore metrico e dimostrato la sua "centralità" ed importanza in tutto il
calcolo tensoriale.
Ribadiamo ancora una volta il concetto.
La proprietà del tensore metrico di contenere in sé le proprietà metriche della varietà è di fondamentale
importanza e porta alla conclusione che le proprietà "intrinseche" di una superficie sono tutte descrivibili
tramite
senza più fare riferimento
alle variabili
, cioè "ignorando" che la superficie è immersa
nello spazio euclideo R³ .
Si noti anche che
è un tensore simmetrico in quanto 
per ogni i e k .
Si ricordi anche che (dalla teoria delle forme quadratiche) condizione necessarie e sufficiente perché
ds² sia positivo è che sia :
.
Fine.
Pagina precedente