Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Tensore di Riemann
Spostando parallelamente un vettore partendo da un punto di una varietà n-dimensionale
lungo un cammino
chiuso appartenente alla varietà stessa, quando si giunge al punto
di partenza, il vettore risulta in generale spostato, deviato, rispetto al vettore iniziale.
In 2 dimensioni, per esempio :
Solo se la varietà è euclidea, il vettore risulterà, dopo il cammino chiuso, coincidente con
quello di partenza.
In questo capitolo mostriamo come la deviazione di un vettore lungo un cammino chiuso sia
legata al tensore metrico della varietà attraverso un tensore fondamentale, detto il tensore
di Riemann. Vedremo nel capitolo successivo come il tensore di Riemann sia in relazione con
la curvatura della varietà.
01 - Parallelogramma infinitesimo (elementare).
Mostriamo qui una importante proprietà relativa agli spostamenti paralleli infinitesimi di vettori
che ci sarà utile in seguito.
Consideriamo un punto P di una varietà
e due punti 
e 
ad esso
infinitamente
vicini (anch'essi posti sulla stessa varietà). Siano ds e δs le corrispondenti distanze :
Il punto P abbia coordinate curvilinee
ed i punti
e abbiano
coordinate
e 
rispettivamente.
Gli intervalli infinitesimi
e 
sono
due vettori di modulo ds e δs
perché :
e 
.
Chiamiamo questi due vettori dP e δP e sottolineiamo il fatto che le loro componenti
sono
e 
rispettivamente
:
Ora eseguiamo lo spostamento parallelo del vettore δP lungo il vettore dP ottenendo
così il vettore
:
Chiamiamo dδP la variazione che subisce il vettore δP nello spostamento parallelo e
le relative componenti per cui si ottiene che il vettore
ha componenti 
.
Le coordinate del punto Q saranno allora :
.
Inoltre, la nota formula dello spostamento parallelo ci permette di determinare la variazione
. Essa risulta :
.
Analogamente, facciamo ora lo spostamento parallelo del vettore dP lungo il vettore δP
ottenendo così il vettore
:
Chiamiamo δdP la variazione che subisce il vettore dP nello spostamento parallelo e
le relative componenti per cui si ottiene che il vettore
ha componenti 
.
Le coordinate del punto Q' saranno allora :
.
Inoltre, la nota formula dello spostamento parallelo ci permette di determinare la variazione
.
Essa risulta :
.
A questo punto siamo in grado di notare un importante risultato.
Poiché i simboli di Christoffel sono simmetrici rispetto agli indici prima della virgola, si
deduce che :
.
Si dice allora che i simboli d e δ sono permutabili.
Da questa importante proprietà si deduce immediatamente che i punti Q e Q' coincidono.
Ciò significa allora che spostando parallelamente dP su δP oppure spostando parallelamente
δP su dP , si raggiunge il medesimo punto Q :
Il parallelogramma infinitesimo
prende anche il nome di parallelogramma
elementare e su di esso faremo le nostre considerazioni circa la variazione che subisce
un vettore che lo percorre completamente (spostandosi parallelamente partendo da P ).
02 - Variazione lungo un parallelogramma infinitesimo (elementare).
Consideriamo ora la variazione che subisce una grandezza qualunque q (scalare o vettoriale)
durante uno spostamento lungo un parallelogramma infinitesimo definito nel modo mostrato
sopra (lo spostamento si considera chiuso, cioè da P a P passando per Q ).
Consideriamo il parallelogramma elementare :
Indicheremo con δq la variazione della grandezza q nel passare da P a
ed
analogamente con δ'q la variazione della grandezza q nel passare da P a
.
Indicheremo con
la variazione di q nel passare da P a Q
passando per
e con 
la variazione di
q nel passare da P a Q
passando per
(naturalmente seguendo i lati del parallelogramma).
La variazione Δq della grandezza q nel percorrere il circuito completo
sarà allora :
.
Esaminiamo ora
. Se il valore della quantità in esame in P è q , il
suo valore
in
è :
in quanto δ rappresenta la variazione lungo il cammino da P a
.
La variazione da
a Q cambia 
in 
( δ'
indica la variazione nel passare
da P a
che, a meno di infinitesimi di ordine superiori, approssima la variazione
da
a Q ) per cui in Q avremo :
per cui :
.
Analogamente otteniamo :
e quindi :
.
Ora consideriamo il caso in cui la quantità che varia lungo il parallelogrammo elementare
sia il vettore controvariante
. Naturalmente dobbiamo considerare che il vettore in
questione percorra il circuito
spostandosi parallelamente. Per le note formule
si ha allora :
e :
.
Differenziando
rispetto al simbolo δ'
otteniamo :
.
Nel primo termine a destra dell'uguale si può sostituire l'espressione (ottenuta differenziando) :
.
Il secondo termine vale (sostituendovi l'espressione di
) :
ovvero, scambiando i con l e viceversa :
.
Otteniamo così (raccogliendo) :
(ricordare sempre di sommare sugli indici ripetuti).
Con procedimento analogo si ottiene :
.
A questo punto siamo in grado di calcolare la variazione
. Tenendo conto che,
come abbiamo dimostrato nel precedente paragrafo (in analogia con i simboli d e δ ),
, e ponendo :
otteniamo infine :
.
Le componenti del sistema
costituiscono i cosiddetti simboli di Riemann del
secondo tipo.
Questa formula mostra che la variazione di un vettore lungo un parallelogramma elementare
dipende dal vettore stesso, dai due "lati" del parallelogramma e dal tensore metrico della
varietà tramite i simboli di Riemann del secondo tipo.
Si vede subito che se la varietà è euclidea, dovendo la variazione
essere nulla
(qualunque siano le coordinate della varietà, il vettore
ed il parallelogramma elementare),
i simboli di Riemann del secondo tipo devono di conseguenza essere tutti nulli.
Viceversa, se i simboli di Riemann del secondo tipo sono tutti identicamente nulli,
la varietà è euclidea perché la variazione di un vettore lungo ogni parallelogramma
elementare è nulla e ciò accade solo per le varietà euclidee.
Questo risultato è di fondamentale importanza perché fornisce un metodo generale per
stabilire se una varietà è euclidea (qualunque siano le coordinate definite su di essa):
una varietà è euclidea se e solo se i simboli di Riemann del secondo tipo
sono tutti identicamente nulli (in ogni punto della varietà).
Questa affermazione, quindi, si basa sul concetto che una varietà euclidea è tale se
e solo se ogni variazione di un vettore controvariante (si può estendere anche ai
vettori covarianti) lungo un parallelogramma elementere (si può estendere anche
per ogni circuito infinitesimo chiuso qualunque) è nulla.
Si può allora prendere questa proprietà come definizione di varietà euclidea.
Mostriamo ora due proprietà dell' "operatore" Δ di variazione lungo un parallelogramma
elementare :
- 1 - Δ(fg) = fΔg + gΔf
dove f e g sono grandezze qualunque (scalari, vettori, tensori). Si dimostra
considerando che Δ = δ'δ - δδ'
- 2 - Δf = 0
dove f è una funzione scalare delle coordinate. La dimostrazione è ovvia.
Analizziamo ora la variazione lungo un parallelogramma elementare di un vettore
covariante.
Le componenti covarianti di
sono :
.
Per le proprietà dell'operatore Δ viste sopra si ha :
(la variazione del tensore metrico lungo un parallelogramma elementare è nulla dato che
esso è funzioni delle coordinate).
Se introduciamo i simboli di Riemann del primo tipo :
(sommare rispetto ad r ) la variazione del vettore covariante
diventa :
che è analoga alla formula della variazione di
.
I simboli di Riemann del secondo tipo sono esprimibili in funzione di quelli del primo tipo
dalla formula (omettiamo la dimostrazione) :
.
Le considerazioni fatte per i simboli di Riemann del secondo tipo circa le varietà euclidee
sono ovviamente valide anche per i simboli di Riemann del primo tipo.
03 - Principali proprietà dei simboli di Riemann del secondo tipo.
I simboli di Riemann del secondo tipo sono funzioni del tensore metrico e delle
sue derivate prime e seconde rispetto alle coordinate.
I simboli di Riemann del secondo tipo, come è facile dedurre dalla loro definizione,
costituiscono un tensore di ordine 4 controvariante rispetto al secondo indice
e covariante rispetto agli altri.
A causa della loro natura tensoriale, se i simboli di Riemann del secondo tipo si annullano
rispetto ad un sistema di coordinate, essi si annulleranno anche per ogni altro sistema di
coordinate definito sulla varietà (ciò deriva direttamente dalla definizione di tensore).
Ciò conduce ad un secondo modo di dimostrare che in una varietà euclidea i simboli
di Riemann del secondo tipo sono nulli : in una varietà euclidea è sempre possibile
introdurre un sistema di coordinate cartesiane, rispetto ad esso i simboli di Riemann
del secondo tipo si annullano quindi si annulleranno anche in ogni altro sistema di
coordinate definite sulla varietà.
I simboli di Riemann del secondo tipo sono antisimmetrici rispetto ai due ultimi indici
(omettiamo la dimostrazione) per cui :
.
In particolare si ha :
.
Vale infine la relazione (omettiamo la dimostrazione) :
.
04 - Principali proprietà dei simboli di Riemann del primo tipo.
I simboli di Riemann del primo tipo sono anch'essi funzioni del tensore metrico
e delle sue derivate prime e seconde rispetto alle coordinate.
I simboli di Riemann del primo tipo formano un tensore di ordine 4 totalmente
covariante (ciò deriva direttamente dalla loro definizione).
Per essi valgono le stesse considerazioni circa le varietà euclidee fatte per i simboli di
Riemann del secondo tipo.
I simboli di Riemann del primo tipo sono antisimmetrici rispetto ad ogni paia di indici
(omettiamo la dimostrazione) :
e :
.
Inoltre vale la relazione (omettiamo la dimostrazione) :
e (utilizzando le relazioni di antisimmetricità) :
.
Vale anche la relazione di permutabilità (omettiamo la dimostrazione) :
.
Infine, sottolineiamo il fatto che i simboli di Riemann del primo tipo sono
ma ,
date
le relazioni che essi soddisfano, i simboli indipendenti sono un sottoinsieme di essi. Il
loro numero N è (omettiamo la dimostrazione) :
.
Per n = 2 si ha N = 1 , per n = 3 si ha N = 6 , per n = 4 si ha N = 20 ecc.
05 - Identità di Bianchi.
I simboli di Riemann soddisfano importanti relazioni, dette identità di Bianchi, che
coinvolgono le derivate covarianti. Riportiamone qui le formule senza dimostrazione :
e :
dove gli indici fuori dalle parentesi indicano le derivate covarianti.
06 - Il tensore di Riemann e la teoria della relatività generale. Il tensore di Ricci.
I simboli di Riemann del primo e del secondo tipo sono grandezze tensoriali. Esse possono
essere indicati nel seguente modo :
.
Poiché nella letteratura scientifica questo modo è il più diffuso, d'ora in poi anche noi
useremo questo simbolismo.
Il tensore di Riemann è detto anche tensore di curvatura. Il significato di ciò sarà mostrato
approfonditamente nel prossimo capitolo. Per il momento sottolineiamo il fatto che, essendo
il tensore di Riemann legato alla variazione di un vettore che si sposta (parallelamente) lungo
un parallelogramma elementare (infinitesimo), esso, quando è non nullo, "indica quanto la
varietà è curva" in un punto in quanto, se la varietà fosse euclidea, non vi sarebbe variazione
del vettore che percorre completamente il parallelogramma, per cui il tensore di Riemann
sarebbe nullo.
Da questo si deduce come il tensore di Riemann giochi un ruolo fondamentale nella teoria
della relatività generale (accanto, naturalmente, al tensore metrico).
Secondo questa teoria, un campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo, ovvero la varietà
quadridimensionale che lo rappresenta (lo spazio-tempo) non è in generale euclidea.
Il tensore di Riemann, indicando la curvatura della varietà punto per punto, avrà allora un
ruolo fondamentale nelle equazioni del campo gravitazionale.
In particolare, nelle equazioni del campo gravitazionale entra una particolare contrazione del
tensore di Riemann, il cosiddetto tensore di Ricci :
(sommare rispetto agli indici j e h ) che vale anche :
(sommare rispetto all'indice h ).
Fine.
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