Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Spostamento parallelo
Vediamo ora come si può definire il concetto di spostamento (trasporto) parallelo di un vettore in una varietà,
sempre secondo i dettami della geometria intrinseca.
Sapere come spostare parallelamente un vettore da un punto ad un altro infinitamente vicino è di fondamentale
importanza per molti argomenti successivi.
Su di una superficie piana il concetto di spostamento parallelo è banale ed il vettore che si ottiene dopo lo
spostamento ha le stesse componenti del vettore di partenza :
In particolare, sul piano (ed ovviamente in ogni spazio euclideo n-dimensionale), un vettore spostato
parallelamente a se stesso lungo un percorso chiuso, ritorna al punto di partenza uguale a se stesso :
Su di una superficie curva (ed in generale in uno spazio n-dimensionale curvo), invece, lo spostamento
parallelo di un vettore non è più un concetto così naturale ed in particolare, lungo un cammino chiuso,
un vettore spostato parallelamente, alla fine del percorso non coincide più col vettore iniziale.
Come esempio di ciò supponiamo di muovere su di una sfera (per esempio la superficie terrestre) un
vettore partendo dal polo nord lungo un percorso chiuso come indicato in figura :
Come si vede bene dal grafico, il vettore, alla fine del percorso chiuso, non è più sovrapponibile al
vettore di partenza.
01 - Spostamento parallelo infinitesimo su una superficie.
Vediamo ora come si può definire il concetto di spostamento parallelo infinitesimo di un vettore su di una
varietà (in generale curva). Faremo questo, come sempre per semplicità, per una varietà bidimensionale
ed estenderemo successivamente i risultati trovati alle varietà n-dimesnionali.
Consideriamo la solita superficie S di equazione parametrica :
dove, come sempre, le
sono le coordinate cartesiane ortogonali di R³ e le 
sono le
coordinate curvilinee di S .
Consideriamo sulla superficie due punti P e P' infinitamente vicini ed un vettore superficiale R con
origine in P . Il vettore R giacerà sul piano α tangente alla superficie in P .
Trasportiamo ora il vettore R spostandolo arbitrariamente, ma in modo che sia sempre tangente alla
superficie S , finché la sua origine non coinciderà con P' . Chiamiamo R' il vettore così ottenuto ed
α' il piano tangente ad S in P' (su cui giace ovviamente R' ).
Graficamente :
I due piani α ed α' si intersecano in una retta, che chiamiamo γ , per cui il piano α' può essere considerato
come ottenuto tramite una rotazione infinitesima del piano α attorno alla retta γ . Questa rotazione può
essere rappresentata dal vettore infinitesimo dω la cui direzione è l'asse di rotazione, cioè la retta γ , il cui
verso è quello di avanzamento di una vite destrorsa che segue la rotazione del piano α e la cui intensità
(modulo) è data dall'angolo infinitesimo di rotazione.
Come prima ipotesi, abbiamo affermato di fare un trasporto arbitrario. Ora, fra tutti i possibili trasporti
fra P e P' consideriamo il più semplice, quello che sarà definito come trasporto parallelo e che, nel
caso in cui la superficie S sia un piano, si riduce al trasporto parallelo ordinario sul piano mostrato
all'inizio di questo capitolo.
Definiamo come trasporto parallelo infinitesimo quello che si ottiene semplicemente ruotando il piano α
come indicato sopra e lasciando il vettore R ruotare "rigidamente" assieme al piano. Il vettore R subirà
allora una modifica dR per cui il vettore R' , risultato finale del trasporto parallelo, sarà R' = R + dR
(sono tutte grandezze vettoriali).
Il vettore dR è definibile nel seguente modo :
dove x indica il prodotto vettoriale fra il vettore dω ed il vettore R . Questa formula è desumibile da
semplici considerazioni sulle rotazioni attorno ad un asse (le omettiamo per semplicità).
Il vettore dR è, a causa della definizione di prodotto vettoriale, perpendicolare sia al vettore dω che al
vettore R , quindi è perpendicolare al piano α . Giacendo sul piano α anche il vettore infinitesimo PP' ,
dR è perpendicolare anche a PP' .
Graficamente :
Essendo dR perpendicolare a PP' e ponendo PP' = δP , si può scrivere :
dove il simbolo · indica il prodotto scalare fra il vettore dR ed il vettore δP . Esprimendo i due
vettori nelle loro coordinate cartesiane si ottiene :
dove i = 1 , 2 , 3 , le
sono le componenti cartesiane del vettore R e le 
sono le componenti
cartesiane del vettore PP' . Il simbolo δ esprime un altro modo di indicare una differenza infinitesima.
Abbiamo qui considerato le sole componenti covarianti in quanto in R³ esse coincidono con quelle
controvarianti.
Le ultime due equazioni scritte si chiamano equazioni simboliche del parallelismo.
Se la superficie S fosse un piano, nello spostamento parallelo di un vettore non vi sarebbe alcuna rotazione
per cui il vettore dR risulterebbe nullo. Essendo dR nullo, il vettore R' coinciderà col vettore R . Abbiamo
così mostrato che la presente definizione dello spostamento parallelo contiene in sé, come caso particolare,
il caso ordinario dello spostamento parallelo dentro uno spazio euclideo.
02 - Simboli di Christoffel.
Ora passiamo alle variabili intrinseche, le coordinate curvilinee. Ricordando che :
e che :
con i = 1 , 2 , 3 e k = 1 , 2 , possiamo esprimere le equazioni simboliche del parallelismo in funzione delle
coordinate curvilinee della varietà.
Lo sviluppo dei calcoli è piuttosto complesso per cui diamo direttamente il risultato finale che esprime le
componenti del vettore
, ovvero la variazione che subisce il vettore
in uno spostamento parallelo,
in funzione delle coordinate curvilinee della varietà. Naturalmente
e
sono i vettori bidimensionali
della superficie corrispondenti ai vettori dR ed R dello spazio euclideo R³
Si ottiene quindi :
dove i , j , l = 1 , 2 e sono sottintese, come sempre, le somme sugli indici ripetuti. I simboli { j l , i } sono
chiamati simboli di Christoffel di seconda specie (o tipo) e sono definiti come :
dove i , j , k , l = 1 , 2 ed i simboli [j l , k] sono chiamati simboli di Christoffel di prima specie. Questi
ultimi sono definiti da :
.
I simboli di Christoffel sono funzioni delle derivate del tensore metrico rispetto alle coordinate curvilinee e
quindi soddisfano ai principi della geometria intrinseca, esprimono cioè uno spostamento parallelo di un
vettore su una varietà con le sole coordinate curvilinee.
I simboli di Christoffel di seconda specie si scrivono anche come :
.
La variazione del vettore di superficie in uno spostamento parallelo può essere espresso in termini
covarianti dalla formula :
con i , j , l = 1 , 2 .
03 - Proprietà dei simboli di Christoffel.
La principale caratteristica dei simboli di Christoffel è quella che essi non formano un tensore. Ciò dipende
dal fatto che i simboli di Christoffel non soddisfano le leggi di trasformazione dei tensori (tralasciamo la
dimostrazione).
Se la varietà è un piano, allora i simboli di Christoffel sono tutti nulli in quanto le componenti del tensore
metrico sono delle costanti e le sue derivate sono tutte nulle. Ciò implica che, in uno spostamento parallelo,
la variazione
del vettore è, come deve essere, nulla.
Altre proprietà dei simboli di Christoffel sono (le elenchiamo senza dimostrazione) :
1 - i simboli di Christoffel dei due tipi sono simmetrici rispetto agli indici accoppiati
per cui le componenti distinte dei simboli di Christoffel sono
nel caso in cui la varietà sia di
dimensione n (anticipiamo qui l'estensione che faremo più avanti alle varietà n-dimensionali).
2 - le derivate del tensore metrico rispetto alle coordinate curvilinee possono essere espresse come :
3 - i simboli di Christoffel del primo tipo sono esprimibili in funzione di quelli del secondo tipo da :
4 - il determinante g del tensore metrico è esprimibile in funzione dei simboli di Christoffel da :
(fare la somma sull'indice ripetuto k ).
Infine possiamo già affermare che le formule relative ai simboli di Christoffel possono essere automaticamente
estese a varietà n-dimensionali qualunque.
Fine.
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