E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Introduzione


I presenti elementi di calcolo tensoriale seguono l'impostazione tradizionale così come si è 
sviluppata a partire da Gauss, Christoffel, Riemann per poi essere completata per opera di 
Ricci-Curbastro e Levi-Civita.

L'approccio seguito è quello "classico" basato sulle leggi ti trasformazione fra sistemi di riferimento 
e la trattazione matematica è impostata su basi semplici ed intuitive.

Il formalismo matematico utilizzato è quello tradizionale della notazione ad indici e la "nomenclatura" 
dei termini usati è quella tradizionalmente usata nella letteratura fisica.

Tali scelte sono state effettuate avendo come scopo l'applicazione del calcolo tensoriale alla fisica 
ed in particolar modo alla teoria della relatività generale (RG)

I tensori sono una generalizzazione degli scalari e dei vettori che sono fra gli oggetti fondamentali 
della fisica. Molte grandezze fisiche sono normalmente rappresentate da scalari e da vettori. Le forze
sono dei vettori, il campo elettrico è un vettore, la temperatura è uno scalare, il potenziale elettrico è 
uno scalare ecc.

Gli scalari sono rappresentati da un solo numero. I vettori sono rappresentati dalle loro componenti 
rispetto ad una base che può essere 2-, 3-dimensionale ecc. a secondo del numero di dimensioni
dello spazio a cui essi si riferiscono.

I tensori sono "oggetti" matematici, meglio dire sistemi, formati da più insiemi di componenti rispetto
allo spazio a cui si riferiscono. Per esempio, se lo spazio di riferimento è 3-dimensionale, un tensore di
ordine  2  è formato da  3x3 = 9  componenti. Uno di ordine  3 , nello stesso spazio, è formato da 
3x3x3 = 27  componenti.

Gli scalari, allora, possono essere considerati come tensori di ordine  0  , ed i vettori come tensori di 
ordine  1 .

Possiamo così raggruppare molte grandezze fisiche in un solo tipo di oggetti matematici : i tensori.

Questa estensione è necessaria perché vi sono grandezze fisiche che non sono esprimibili in termini 
di scalari e vettori. Per esempio, se si vuole descrivere la deformazione a cui è sottoposto un materiale,
le grandezze vettoriali non bastano. Occorrono i tensori.

Un altro fondamentale esempio di grandezza fisica non esprimibile né come scalare né come vettore, 
è il campo gravitazionale descritto dalla RG. Esso è un tensore. 

Bisogna subito precisare che un sistema qualunque di ordine  n  non è necessariamente un tensore.
Perché un sistema di ordine  n  sia un tensore di ordine  n  occorre che valgano alcune condizioni
restrittive circa il cambiamento di questi oggetti in una trasformazione di coordinate. 

I tensori sono sistemi che variano secondo certe leggi quando vi è una trasformazione 
di coordinate.

Ciò è di fondamentale importanza per la fisica. Tenuto conto che un tensore nullo rimane tale
anche dopo una qualunque trasformazione di coordinate, se le leggi della fisica fossero espresse
dalla formula generale  T = 0  , dove  T  è un tensore, allora quelle leggi sarebbero del tutto invarianti
rispetto a qualunque trasformazione di coordinate. Questo è, in sintesi, il principio di relatività 
generale.

Siccome non vi è ragione di pensare che vi siano sistemi di riferimento privilegiati in cui le leggi
della fisica abbiano una formulazione particolare, si presuppone che il principio di relatività generale 
debba essere vero. Le legge della fisica devono essere le stesse rispetto a qualunque sistema di 
riferimento, per cui le leggi della fisica debbono, per soddisfare questo principio, essere espresse 
in forma tensoriale.

Abbiamo così mostrato l'importanza fondamentale che assumono i tensori in fisica.

Un tensore di ordine  n  si rappresenta comunemente nel seguente modo :

          

dove gli indici in basso sono le cosiddette componenti covarianti del tensore e gli indici in alto sono
le cosiddette componenti controvarianti del tensore. Il numero totale degli indici di entrambi i tipi 
eguaglia  n  , l'ordine del tensore.

Se lo spazio a cui il tensore è riferito è n-dimansionale, ciascun indice può assumere i valori  1,2, ...,n .

Uno scalare è un tensore di ordine  0  per cui non possiede indici. Per esempio :

        T .

Un vettore è un tensore di ordine  1  per cui possiede un solo indice che può essere covariante o
controvariante. Per esempio :

         e    (attenzione !!!  non significa  T  elevato alla  j  !!!)

Il vettore    , in uno spazio 3-dimensionale, possiede  3  componenti, le componenti  , .

Infine, nelle formule in cui sono presenti delle sommatorie sugli indici, per motivi di semplicità,
utilizzeremo la convenzione di Einstein, secondo la quale si sottintende la sommatoria sugli
indici ripetuti. Per esempio :

       

Fine.

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