E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Geodetiche


Una geodetica è una linea di minima lunghezza fra due punti dati di una varietà n-dimensionale  .

Nel caso bidimensionale, le  sono delle superficie ordinarie ed una geodetica è rappresentabile
come nel grafico :



Dati due punti di una varietà, la geodetica fra di essi è unica. Una geodetica ha interessanti proprietà 
geometriche. Fra queste riportiamo, per il caso bidimensionale, che il piano osculatore in ogni punto 
della geodetica è normale al piano tangente in quel punto alla superficie.

Il concetto di geodetica è molto importante anche per le applicazioni fisiche. Nella teoria della 
relatività generale
un campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo ed i corpi in esso si muovono
compiendo delle geodetiche. 

Dato il tensore metrico    di una varietà n-dimensionale, è possibile trovare le equazioni differenziali
a cui deve soddisfare una geodetica tramite l'aiuto del calcolo variazionale (o delle variazioni).

01 - Calcolo variazionale (concetti fondamentali)

Il calcolo variazionale è una branca dell'analisi che si occupa di risolvere problemi di massimo
minimo. In generale, date certe condizioni, si tratta di trovare una soluzione ad un problema per  
il quale sia massima o minima una certa grandezza od espressione matematica.

Non ci addentreremo nel calcolo variazionale perché ciò esulerebbe dallo scopo di queste semplici
note, ma utilizzeremo di esso ciò di cui abbiamo bisogno per raggiungere il nostro scopo e faremo
questo in modo intuitivo.

Mostriamo allora, nel caso più semplice possibile, l'impostazione tipica di un qualsiasi problema di 
calcolo variazionale.

Data la funzione  y = f(x)  si chiama variazione della  y  , e si indica con  δ y , rispetto ad una 
corrispondente variazione  δ x  della  x  a partire da un certo valore, l'espressione :  

       

dove l'ultimo membro è ricavato direttamente dalla formula di Taylor. 

Se ci si limita al primo termine (il termine infinitesimo del primo ordine) la variazione si chiama 
variazione prima e vale :

        .

Consideriamo allora una funzione  y = f(x)  qualunque :



Le variazioni prime nei punti  A , B  e  C  sono nulle perché in essi la derivata prima è nulla. Il punto  
A  è un punto di massimo relativo, il punto  B  è un minimo relativo mentre il punto  C  non è né un
massimo né un minimo.

Si deduce quindi che i punti di massimo o minimo relativo vanno ricercati fra i punti in cui la variazione
prima è nulla (ovvero la derivata prima è nulla) cioè : 

        δ y = 0 .

Sottolineiamo però il fatto che un punto in cui la variazione prima è nulla, non è automaticamente un 
punto di massimo o minimo (vedi il punto  C  dell'esempio).

Quanto fin qui affermato costituisce il nucleo principale che sta alla base del calcolo variazionale.

02 - Equazione differenziale della geodetica.

Nel caso della geodetica, noi ricerchiamo una linea fra due punti che abbia lunghezza minima.

Ciò equivale a considerare la funzione  l = f(g)  dove  l  ("elle") è la lunghezza e  g  è una linea qualunque 
fra due punti. Sia ora  g   la linea fra due punti per cui la lunghezza è minima (la geodetica appunto). La 
variazione prima di  l  allora sarà nulla, cioè :

        δ l = 0 .

Questa condizione (introdotta in termini intuitivi senza ulteriori approfondimenti) determina la geodetica 
cercata.

Si ribadisce che la condizione  δ l = 0  può fornire, in generale, anche linee che non sono propriamente  
la geodetica fra due punti. Si tratta di linee per cui la lunghezza è localmente minima o massima, cioè linee   
ad essa vicine hanno lunghezza ad essa superiore od inferiore. In analogia con il punto  C  dell'esempio  
precedente, possono risultare anche linee che non sono linee di minima lunghezza (nemmeno localmente), 
ma che però sono linee per cui la variazione prima è nulla.

Consideriamo ora la geodetica  g  di lunghezza  l  ("elle") fra i punti  A  e  B  di una varietà n-dimensionale. 
Supponiamo che essa sia nota. Un'altra linea  g'  condotta fra i punti  A  e  B  avrà quindi una lunghezza 
maggiore. Sia  g'  infinitamente vicina a  g  e sia  l'  la sua lunghezza. Graficamente :



L'equazione parametrica della geodetica  g  sia :

       

dove il parametro  s  è la lunghezza della curva a partire da  A . Evidentemente  0 ≤ s ≤ l  e si ha
  e   .

L'equazione parametrica della linea  g'  sia :

       

dove le variazioni    sono funzioni infinitesime di  s  ( 0 ≤ s ≤ l  ) tali che  .

Sia  P  un punto di  g  corrispondente ad un certo valore del parametro  s  e  Q  un punto di  g  
infinitamente vicino a  P . Sia  ds  la lunghezza del segmento  PQ . Sia  P'  il punto corrispondente 
a  P  (con il medesimo valore del parametro  s ) su  g'  e sia  Q'  il punto corrispondente a  Q su  g' . 
Graficamente :



Determiniamo le coordinate dei quattro punti  P , Q , P'  e   Q' :

        - il punto  P  ha coordinate   

        - il punto  Q  ha coordinate 

        - il punto  P'  ha coordinate 

        - il punto  Q'  ha coordinate 

D'altra parte le coordinate di  Q'  sono anche    per cui la differenza fra le 
coordinate di  Q'  e quelle di  P'  è sia    che  .

Eguagliando le due espressione e ricordando che  d(x + y) = dx + dy  e  δ (x + y) = δ x + δ y  (la 
variazione è infinitesima per cui ha le medesime proprietà lineari del differenziale), si ottiene :

        .

Questa importante relazione che ci servirà in seguito indica che i differenziali delle variazioni delle  
coordinate (che sono funzioni) eguagliano le variazioni dei differenziali delle coordinate .

A questo punto troviamo la variazione dell'elemento  ds  , ovvero  δds . Per fare questo facciamo
la variazione di  ds² . Considerando che le regole per fare la  variazione (infinitesima) sono le stesse 
della differenziazione, si ottiene :

        .

Poiché    (sommare sugli indici ripetuti) , facendo la variazione, si ottiene :

       

da cui, siccome gli ultimi due termini sono identici, si ha :

        .

Dividendo ambo i membri per  2ds  si ottiene :  

       

dove il punto indica la derivazione per  s  e si è posto  dδx  invece di  δdx  (che sono uguali come 
dimostrato sopra).

Poiché    (formula analoga alla differenziazione del tensore metrico), si ottiene :

         

(ricordarsi sempre di fare le somme rispetto agli indici ripetuti).

Calcoliamo ora le lunghezze  l  ed  l'  delle linee  g  e  g'  (rispettivamente) fra i punti  A  e  B  .
Si ha :

          e 

da cui si ricava : 

       

che rappresenta la variazione della lunghezza quando si passa dalla geodetica  g  ad una linea 
infinitamente vicina  g'  (ma sempre sottesa fra  A  e  B ) . Questa è la variazione cercata che 
dovremo porre uguale a  0  per ottenere le equazioni della geodetica.

Si ha allora :

        δ l = 0 

ovvero, sostituendo in  δds  l'espressione precedentemente trovata :

                            (1).

Scriviamo ora il secondo integrale in una forma migliore. Integrando per parti si ottiene :

        .

Poiché i  δx  sono nulli in  A  e  B  , l'integrale si riduce a :

       

da cui, differenziando, si ottiene :

        .

Facendo il differenziale del tensore metrico, l'integrando del primo integrale dell'ultimo membro 
diventa :

       

oppure, scambiando  i  con  l  :

         

per cui (prendendo la semisomma) :

         

(questo artifizio risulterà utile in seguito).

In questo modo si ottiene :

        .

A questo punto sostituiamo l'integrale così trasformato nella formula originale  (1) . Otteniamo 
allora :

         

dove abbiamo opportunamente raccolto e dove si deve, come sempre, sommare rispetto agli 
indici ripetuti (anche su  k !).

L'espressione può essere riscritta introducendo i simboli di Christoffel nel seguente modo :

        .

Ponendo :

       

la suddetta espressione si semplifica ulteriormente in :

         

per cui :

       

Dovendo questo integrale essere nullo per ogni possibile scelta di  (entro le condizioni già
definite) occorre che si abbia :

       

che rappresenta in sintesi la condizione di nullità della variazione della lunghezza della geodetica.

Espandendo la formula ed ordinando per ordine decrescente di derivazione si ottiene : 

        .

Queste sono  n  equazioni differenziali del secondo ordine.

Si noti che il sistema    costituisce un vettore covariante le cui componenti controvarianti
sono :

        .

La condizione di nullità della variazione si esprime allora in :

       

per cui, si ottiene infine :

        .

Queste sono le equazioni differenziali nella forma più semplice a cui deve soddisfare la 
geodetica cercata.

Si tratta di  n  equazioni differenziali del secondo ordine in  . Esse necessitano, per essere 
risolte, di  2n  costanti che possono essere fornite dalle coordinate dei punti  A  e  B  oppure
dalle coordinate del punto  A  e da  n  derivate date che costituiscono una assegnata
direzione a partire dal punto  A .

Si noti che l'equazione della geodetica dipende dal solo tensore metrico, dai simboli di 
Crhistoffel (essi stessi dipendenti dal tensore metrico) e dalle coordinate curvilinee della 
varietà e questo in accordo con i principi della geometria intrinseca.

Fine.

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