Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Derivata covariante
La derivata rispetto ad una coordinata di un tensore di ordine m definito in una varietà
n-dimensionale non è in generale un tensore, ma è un sistema di ordine m + 1 che,
in un cambiamento di coordinate, non si trasforma seguendo le regole di trasformazione
dei tensori.
Mostriamo questo nel caso della derivata del vettore covariante
.
In un cambiamento di coordinate, il vettore
si trasforma secondo la legge :
dove i , k = 1 , 2 , .. , n , u' è il vettore u nel sistema di coordinate x' ed è sottintesa la
somma sull'indice ripetuto k .
Derivando il vettore u' rispetto alle coordinate x' si ottiene (in definitiva) :
.
Se l'ultimo membro fosse assente, la formula trovata esprimerebbe la usuale legge di
trasfomazione di un tensore covariante di ordine 2 .
La presenza di quel termine fa sì che il sistema
non sia né un tensore covariante
né un tensore controvariante, cioè non sia un tensore.
Sorge allora l'esigenza di un concetto di derivazione di un tensore che fornisca come
risultato ancora un tensore.
01 - Derivazione covariante.
Per introdurre il concetto di derivata covariante, consideriamo inizialmente il semplice caso
del vettore A in una varietà bidimensionale (omettiamo per semplicità il suo indice covariante
o controvariante). Il vettore A sia funzione delle coordinate curvilinee della varietà e P e Q
siano due punti infinitamente vicini sulla varietà in modo che la loro distanza sia come al solito
ds .
Per fare la derivata del vettore A , se la varietà fosse euclidea, basterebbe considerare la
differenza fra i valori delle componenti di A nel punto Q e quelle nel punto P .
In una varietà non euclidea ciò non ha molto senso (e porta appunto ad un non tensore) : il
vettore A nel punto P non è confrontabile col medesimo nel punto Q perché le
proprietà metriche della varietà sono diverse punto per punto (se la varietà è non
euclidea ovvero curva).
Se invece consideriamo nel punto Q il vettore che si ottiene spostando parallelamente
il vettore A da P a Q , il confronto diventa possibile.
Sia A + dA il vettore A nel punto Q e A + δA il vettore ottenuto spostando
parallelamente A da P a Q (usiamo il simbolo δ per indicare la variazione apportata
ad A a causa dello spostamento parallelo).
Graficamente :
Il confronto dei due vettori in Q porta a dA - δA che rappresenta l'incremento del vettore A .
Se la varietà fosse euclidea, δA sarebbe nullo per cui si cadrebbe nella usuale definizione di
derivata.
Generalizziamo ora il concetto ad un tensore di qualunque ordine definito in una varietà
n-dimensionale.
Sia
un
tensore sulla varietà 
(ci limitiamo al caso di un tensore di ordine 2 a
componenti miste) e siano P e Q due punti infinitamente vicini della varietà.
Siano
e 
due generici vettori (il primo controvariante ed il secondo covariante).
Sia F lo scalare definito da :
dove i , k = 1 , 2 , ... , n ed è sottintesa la sommatoria rispetto agli indici ripetuti.
Consideriamo ora la variazione δF dello scalare F passando dal punto P al punto Q .
Poiché la variazione è infinitesima essa vale :
.
Il tensore
,
che è funzione delle coordinate, varia nel modo usuale secondo la formula
:
I vettori
e ,
invece, li consideriamo variare da P a Q per spostamento
parallelo, per
cui si ha :
e
.
Sostituendo nella formula che esprime δF si ottiene :
(ricordarsi sempre di sommare sugli indici ripetuti) da cui, interscambiando i con j nella
seconda somma e k con j nella terza, si ottiene :
e quindi, raccogliendo :
.
Poiché δF è un invariante rispetto ad un cambiamento di coordinate, il sistema dentro le
parentesi è un tensore di ordine 3 covariante rispetto agli indici i ed l e controvariante
rispetto all'indice k . Esso viene chiamato derivata covariante del tensore
e vale
:
(fare le somme rispetto agli indici ripetuti). La derivata covariante viene anche indicata con
simboli del tipo
dove, invece della parentesi, si usa un carattere di separazione fra gli
indici i ed l .
La derivata covariante si riduce, come deve essere, alla derivata ordinaria quando la varietà
è euclidea.
Per i tensori di ordine superiore, la definizione di derivazione covariante è ricavabile analogamente
a come è stata ricavata la derivata covariante di
, per cui ne omettiamo la formula generale.
02 - Casi particolari.
Diamo qui, senza dimostrazioni, alcune derivate covarianti di particolare interesse.
- 1 - derivata covariante di uno scalare :
- 2 - derivata covariante di un vettore covariante :
- 3 - derivata covariante di un vettore controvariante :
- 4 - derivata covariante di un tensore di ordine 2 completamente covariante :
- 5 - derivata covariante di un tensore di ordine 2 completamente controvariante :
03 - Lemma di Ricci.
Se facciamo la derivata covariante del tensore metrico di una varietà otteniamo l'importante
risultato che essa è un tensore identicamente nullo :
Questo risultato, che va sotto il nome di lemma di Ricci, può essere dimostrato sostituendo
nella formula :
,
che definisce la derivata covariante del tensore metrico, la nota espressione delle derivate del
tensore metrico in funzione dei simboli di Christoffel :
e ricordando che :
.
Fine.
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