E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Definizione di tensore


Un tensore, come abbiamo già visto, è un sistema di grandezze definito da più indici che gode di una 
particolare legge di trasformazione quando le coordinate dello spazio a cui esso è riferito subiscono 
un cambiamento.

Queste leggi di trasformazione sono una generalizzazione di quelle a cui soddisfano i vettori nel caso 
più semplice di una rotazione di un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Per definire questa legge generale passiamo in rassegna alle trasformazioni di scalari e vettori. 

01 - Trasformazioni di scalari.

Consideriamo un campo scalare  T(x , y , z)  tridimensionale. Supponiamo, per esempio, che esso 
rappresenti la temperatura di un corpo in funzione delle coordinate cartesiane ortogonali a cui
il corpo si suppone riferito.

Supponiamo che le coordinate subiscano una trasformazione per cui dalle  x , y , z  si passi alle
nuove coordinate  x' , y' , z'  che sono legate alle precedenti dalle equazioni :

        .

Le suddette equazioni rappresentano le equazioni della trasformazione di coordinate

Una trasformazione di coordinate deve essere invertibile per cui deve valere anche la 
trasformazione inversa di equazioni :

          .

Un campo scalare è associato ad ogni punto dello spazio ed è funzione solo di quel punto. Un 
campo scalare non ha altre caratteristiche o proprietà (direzione, verso o quant'altro) se non 
quella di essere funzione delle coordinate ed avere un solo valore che rappresenta il campo stesso. 
Per questo motivo, cambiando le coordinate da  x , y , z   a   x' , y' , z' , basta sostituire in  T  alle 
variabili  x , y , z   le relative equazioni della trasformazione.

La legge di trasformazione di uno scalare è quindi la più semplice possibile e viene chiamata
trasformazione per invarianza.

02 - Trasformazioni di vettori.

Per i vettori, invece, la problematica della loro trasformazione in concomitanza con una 
trasformazione di coordinate è completamente diversa. 

Nel caso della trasformazione per rotazione di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali 
tridimensionali, un vettore cambia in un modo molto semplice. Rispetto al nuovo sistema di 
riferimento ruotato (rispetto ad un asse) le componenti di un vettore cambiano in maniera 
naturale. Limitatamente al più semplice caso bidimensionale si ha :



dove la legge di trasformazione delle coordinate è data da :

       

e dalla sua inversa :

         

dove  α  è l'angolo della rotazione.

Le componenti del vettore  V  si trasformeranno allora come le coordinate, per cui la legge 
di trasformazione del vettore  V  sarà :

         

con la sua inversa :

        .

Il caso sopra esposto è il caso più semplice di trasformazione di un vettore in corrispondenza di
una trasformazione di coordinate. In effetti vi è un caso ancora più semplice, banale : la traslazione 
parallela
degli assi. In questo caso le componenti di un vettore rimangono ovviamente inalterate.

Cosa succede nel caso generale di una trasformazione di coordinate qualunque ? Come cambiano
le coordinate di un vettore dato in corrispondenza di una trasformazione di coordinate generica ?

La risposta non può essere trovata facendo riferimento al "buon senso" o all'evidenza geometrica
(come per il caso precedente).

Ricorriamo per questo scopo ad una grandezza scalare che, come sappiamo, è invariante , ovvero 
non cambia al cambiare delle coordinate.

In questo modo, possiamo definire delle leggi di trasformazione tali da lasciare l'invariante invariato,  
mantenendo così  un "collegamento con la realtà" in modo che le definizioni trovate abbiano una ragione 
"concreta" o almeno "plausibile" di esistere.

Un invariante che potrebbe servire al nostro scopo è il lavoro meccanico che una forza produce a causa 
di uno spostamento infinitesimo  ds  :

       

dove sia la forza  F  che lo spostamento  ds  sono vettori e fra di loro è definito il prodotto scalare.

Tale lavoro infinitesimo ha una sua "realtà" fisica che ovviamente non dipende dal sistema di riferimento 
scelto.

Passando alle componenti, nel caso tridimensionale, si ottiene :

        .

Se si passa dalle coordinate  x , y , z  alle coordinate  x' , y' , z'  il lavoro  dL  diventa :

       

dove abbiamo espresso i differenziali  dx , dy , dz  in funzione delle  x' , y' , z'  con le note formule del calcolo
differenziale :

        .

Raccogliendo opportunamente, si ottiene :

        .

Ponendo  :

       

si può scrivere :

        .

Questa formula è formalmente identica alla formula iniziale ( dL = F · ds ) ed esprime il lavoro  
dL  (invariante)  calcolato rispetto alle componenti dei vettori  F  e  ds  rispetto al nuovo sistema 
di riferimento  x' , y' , z' .

Possiamo in conclusione affermare che le componenti del vettore  F  si sono trasformate, a
causa del cambiamento di coordinate, nel seguente modo :

       

mentre le componenti del vettore  ds  si sono trasformate in :

          .

Abbiamo così trovato due leggi (diverse) di trasformazione dei vettori. La prima, quella con cui si 
trasforma  F  si chiama trasformazione per covarianza. La seconda, quella con cui si trasforma   
il vettore  ds  , trasformazione per controvarianza.

I vettori che in una trasformazione di coordinate qualunque si trasformano secondo la legge di
trasformazione di covarianza, sono detti vettori covarianti e si indicano con    (indice in basso).

I vettori che in una trasformazione di coordinate qualunque si trasformano secondo la legge di
trasformazione di controvarianza, sono detti vettori controvarianti e si indicano con    (indice 
in alto) (attenzione !!! l'indice in alto non deve essere scambiato per l'elevamento a potenza !!!).

Da quanto affermato si deduce che il vettore spostamento  ds  è un vettore controvariante
Questo è un risultato di fondamentale importanza e d'ora in poi indicheremo il vettore spostamento 
infinitesimo nel seguente modo :

         

invece di  (dx , dy , d z) .

Tutto quanto sopra affermato si generalizza agli spazi ad  n dimensioni

La legge di trasformazione dei vettori covarianti risulta allora :

          

e la legge di trasformazione dei vettori controvarianti risulta :

       

dove  i , j = 1, 2, ..., n  e, come al solito, è sottintesa la somma per gli indici ripetuti.

Le leggi di trasformazione qui riassunte sono quindi tali da mantenere invariante lo scalare :

          .

La distinzione fra componenti covarianti e controvarianti è stata creata a causa dell'introduzione
di coordinate qualunque (curvilinee). E' semplice dimostrare che, in una semplice rotazione di assi
cartesiani ortogonali, le componenti covarianti e quelle controvarianti coincidono


Per fare questo basta considerare le equazioni della rotazione degli assi cartesiani ortogonali
enunciate sopra (in due dimensioni, per esigenze di semplicità) e fare le opportune derivate. Si 
perviene velocemente al risultato che vettori covarianti e controvarianti si trasformano nello stesso 
modo.

La distinzione fra componente covariante e controvariante è, quindi, una peculiarità delle coordinate
curvilinee che "sparisce" in presenza di coordinate cartesiane ortogonali.

03 - Definizione di tensore.

Abbiamo più volte affermato che un tensore è un sistema a più indici che soddisfa certe leggi di 
trasformazione
al cambiare del sistema di riferimento.

Ora siamo in grado di esprimere queste leggi in analogia con le leggi di trasformazione dei vettori.

Le leggi di trasformazione dei tensori sono una generalizzazione di quelle dei vettori.

Consideriamo il semplice caso di un tensore del secondo ordine (due indici) misto (con un indice
covariante ed uno controvariante) :

         .

Esso si trasformerà in un cambiamento di coordinate, in analogia con il comportamento dei vettori,  
in modo tale che lo scalare :

       

rimanga invariante nella trasformazione di coordinate. 

Analogamente, il tensore completamente covariante :

          

si trasformerà in  modo tale che lo scalare :

       

rimanga invariante ed il tensore completamente controvariante :

       

si trasformerà in modo tale che lo scalare :

       

rimanga invariante.

Si dimostra che le leggi di trasformazioni a cui devono soddisfare i tensori sono (nel semplice 
caso di tensori di ordine due) :

       

dove  i, k, l, m = 1,2, ..., n  e sono sottintese, come sempre, le somme per gli indici ripetuti.

Nel caso di tensori di ordine superiore a due si procede di conseguenza, inserendo le opportune
derivate come fattori corrispondenti a ciascun nuovo indice.

Le suddette formule di trasformazione forniscono, come casi particolari, le già viste formule 
di trasformazione degli scalari (che sono tensori di ordine zero) e dei vettori (che sono tensori
di ordine uno).

Fine.

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