E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Curvatura


Vedremo in questo capitolo come il tensore di Riemann è legato alla curvatura di una varietà
n-dimensionale  .

Come prima cosa estendiamo il concetto di deviazione di un vettore lungo un parallelogramma 
infinitesimo (vista nel paragrafo precedente) a quella di un vettore lungo un cammino chiuso
infinitesimo qualunque
a partire da un punto  P  della varietà (intendendo come sempre che 
il vettore si "muove" lungo il cammino chiuso subendo spostamenti paralleli infinitesimi ).

01 - Deviazione di un vettore lungo un cammino chiuso infinitesimo qualunque.

Consideriamo un punto  P  di una varietà  ed una curva chiusa  T  infinitesima di forma 
qualsiasi (che contiene ovviamente  P ). Consideriamo una superficie qualunque  σ  che 
contenga  T  e chiamiamo  Γ  la parte di superficie delimitata dalla curva  T . 

Sia     una vettore direzione (vettore unitario individuato dai parametri della direzione
che esso individua sulla varietà) qualunque con origine in  P . Graficamente :



(il vettore    non giace in generale sulla superficie  σ  ).

Facciamo ora compiere al vettore  un circuito completo lungo  T  (da  P  a  P , con 
spostamento parallelo) e chiamiamo  la variazione che il vettore subisce. Graficamente :



Poiché la variazione elementare di     è data dalla usuale formula :

        ,

la variazione complessiva  sarà :

       

dove l'integrale è fatto lungo la curva chiusa  T .

Introduciamo adesso un sistema di coordinate curvilinee    sulla superficie  σ  definite 
dalle equazioni :

       

con  i  = 1 , 2 , ..., n .

Le coordinate  che passano per il punto  P  sono indicate nel grafico :



ed i loro versi positivi (secondo i valori crescenti) sono indicati dalle frecce. In questo modo 
consideriamo il verso positivo di integrazione lungo la linea chiusa  T  quello indicato dalla 
freccia (partendo da  P  si segue il verso positivo di  ecc. ).

Con l'introduzione delle coordinate  , inserendo i differenziali delle    in funzione 
delle medesime, la variazione   diventa :

       

da cui, ponendo :

       

e :

        ,

si ottiene più sinteticamente :

         

dove    e    sono in funzione di  .

L'integrale di linea che esprime    può essere trasformato in un integrale di superficie  
tramite il teorema di Stokes. Si ottiene allora :

         

dove l'integrale è fatto sulla superficie  Γ  racchiusa dentro la linea  T .

Con un semplice artificio riscriviamo la formula di    nel seguente modo :

        .                                     (1)

L'integrando può essere valutato senza esprimere le funzioni     e    in modo 
esplicito.

Per fare questo introduciamo l'operatore  δ  per denotare l'incremento di una quantità
qualunque lungo la coordinata  = costante  quando si passa da  a   .

Analogamente, indichiamo con  δ'  l'operatore che esprime l'incremento di una quantità
lungo la coordinata  = costante  quando si passa da 

In particolare si ha :

       

e :

       

e si hanno formule analoghe per ogni altra funzione della posizione.

Ricordando che abbiamo posto precedentemente  , si ha allora :

       

e :

        .

Con queste impostazioni, l'integrale  (1)  che esprime la variazione    diventa :

       

che, ricordando la definizione di tensore di Riemann, si esplicita in :

        .

Introduciamo ora i parametri delle linee coordinate   = costante  e   = costante :

       

e :

       

dove    e    sono le lunghezza degli intervalli elementari, lungo le suddette linee, le cui 
componenti sono    e  . Graficamente, per esempio, nel punto  P :



L'integrale diviene allora :

        .

Introducendo l'elemento infinitesimo d'area  dΓ  il cui valore è dato da :

        ,

dove  θ  è l'angolo fra le due linee coordinate    :



si ottiene :

        .

Applicando il teorema del valor medio a questo integrale si ottiene :

       

dove l'integrando è preso in un punto particolare  M  e  DΓ  è l'area della superficie racchiusa 
nella curva  T .

Se, invece del punto  M , scegliamo il punto  P  , si commette un errore trascurabile (di ordine 
inferiore alle grandezze in gioco perché la linea  T  è infinitesima (omettiamo la valutazione 
dell'errore)) per cui otteniamo infine :

          .                                                                                  (2)

Abbiamo quindi dimostrato che la variazione di un vettore  che si sposta parallelamente 
lungo un cammino chiuso (da  P  a  P  lungo la linea  T ) dipende dall'area  DΓ  della superficie 
racchiusa nella curva, dall'angolo  θ   fra le linee coordinate    in  P  , dal tensore di 
Riemann in  P , dal vettore    stesso e dai parametri    e  delle linee coordinate     
in  P .

Graficamente :



Si noti che, come doveva essere, la formula qui trovata è analoga a quella della variazione di 
un vettore lungo un parallelogramma infinitesimo.

02 - Formula di Pérès.

Se introduciamo un vettore direzione (vettore unitario individuato dai parametri della direzione
che esso individua sulla varietà)  con origine in  P  che forma un angolo  α  con il vettore 
, possiamo determinate l'angolo  α + Dα  fra il vettore  , dopo il percorso parallelo
lungo la linea chiusa  T , ed il vettore  . Graficamente :



Per fare questo, partiamo dal prodotto scalare dei vettori  u  e  v  (che sono vettori unitari) :

        u · v = cos α  .

Differenziando questa espressione col simbolo  D  si ottiene :

        v · Du = -sin α  · Dα  

( Dv = 0  perché il vettore  v  è fisso).

Passando alle componenti, il prodotto scalare di sinistra è     per cui, usando 
l'espressione  (2) , si ottiene :

       

da cui, passando alle componenti controvarianti di  u , si ricava 

          .

Escludendo il caso in cui  sin α  = 0  (caso privo di interesse perché si annulla anche il secondo 
membro a causa della antisimmetria del tensore di Riemann), la formula può essere scritta :

        .

Questa formula, detta formula di Pérès, è la formula cercata e ci sarà utile nelle seguenti 
considerazioni sulla curvatura di una varietà.

03 - Curvatura di una  .

Consideriamo ora una superficie ordinaria bidimensionale  . I vettori  u  e  v  ed i vettori
ξ  e  η  sono naturalmente posti tutti sulla medesima superficie, la superficie  in questione.

Non si perde generalità allora se si fanno coincidere  u  con  ξ   e  v  con  η  (su di una 
superficie, la variazione  Dα  non dipende dai vettori  ξ   e   η  ). La formula di Pérès può 
allora, in questo caso, essere scritta  :

        .

Inoltre, tenendo presente che per  n = 2  l'unico elemento significativo del tensore che non 
sia nullo è     (si ha ovviamente anche    e  ) , si ottiene :

        .

A questo punto, occorre esprimere l'angolo  α  in funzione delle componenti dei vettori  u  
e  v . Per fare questo facciamo il prodotto scalare fra di essi, per cui, essendo vettori unitari, 
si ottiene :

         

(questa formula vale per varietà di ogni dimensione).

Il seno di   α  è esprimibile nel caso di  dalla formula (omettiamo la dimostrazione) :

       

dove :

        .

Utilizzando queste formule si ottiene :

        .

Ponendo poi :

       

si ottiene infine :

        .

Lo scalare  K  è funzione della posizione tramite il tensore metrico ed il tensore di Riemann
ed esso coincide con la curvatura totale (gaussiana) della superficie nel punto  P .

La dimostrazione dell'uguaglianza fra  K  e la curvatura totale di una superficie in un suo punto 
esula dallo scopo di questi scritti introduttivi per cui la omettiamo.

Ci limiteremo solo ad elencare sinteticamente i concetti di geometria differenziale relativi alla  
definizione di curvatura totale di una superficie in un punto :

        - la  curvatura totale di una superficie in un suo punto è definita come il prodotto delle 
          curvature delle due sezioni principali della superficie nel punto stesso 

        - le sezioni principali sono sezioni ottenute intersecando la superficie con piani passanti per
          la retta perpendicolare alla superficie in quel punto e per le tangenti asintotiche alla superficie
          nel punto

        - le tangenti asintotiche alla superficie in un suo punto sono le tangenti (in generale due) 
          che hanno con la superficie nel punto dato un contatto del secondo tipo (almeno)

        - la curvatura di una curva in un punto (la sezione di una superficie è appunto una curva)  
          è l'inverso (1 / R) del raggio di curvatura della curva nel punto stesso

        - il raggio di curvatura di una curva in un punto è il raggio del cerchio osculatore a quella 
          curva in quel punto

        - il cerchio osculatore ad una curva in un suo punto è quel cerchio che ha con la curva  
          un contatto del secondo ordine (almeno)

        - si ha un contatto del secondo ordine fra due curve quando in un punto si uguagliano  
           i valori delle funzioni, delle derivate prime e delle derivate seconde in quel punto. 

        - analogo concetto per il contatto del secondo ordine fra una retta ed una superficie in
           un suo punto

Si noti che se la superficie è euclidea la variazione  Dα  è ovviamente nulla per cui la curvatura  
K  è, come deve essere, di conseguenza nulla.

04 - Curvatura di una  .

Per una varietà di dimensione  n  (> 2)  il concetto di curvatura in un suo punto è più complicato 
in quanto dipende dai vettori  ξ   e   η  che individuano una superficie (contenuta nella varietà)  
passante per il punto dato. 

Dato un punto  P  di una  , si possono definire infinite superficie passanti per  P  ed individuate 
dai vettori  ξ   e   η  che hanno origine in  P . Si deduce quindi che la curvatura di una  in  P  in 
generale dipende dalla superficie prescelta per cui non è univoca.

Per rendere più univoca la definizione di curvatura, fra le infinite superficie passanti per  P  ed 
individuate dai vettori  ξ   e   η  , scegliamo quelle che sono formate da linee geodetiche passanti 
per  P  ed individuate da  ξ   e   η  e da tutte le loro combinazioni lineari ( x = aξ  + bη  , con  a  e  b  
qualunque numero reale) : le cosiddette superficie (o sezioni) geodetiche.

Si definisce allora curvatura riemanniana di una varietà in un suo punto rispetto ad una superficie
geodetica
passante per esso la curvatura della superficie geodetica in questione .

Le problematiche relative alla curvatura di una    sono molto complesse e tali da richiedere 
approfondimenti molto specialistici. A noi interessano soprattutto i concetto fondamentali e le 
idee di base, per cui interrompiamo qui la trattazione rimandando il lettore interessato a testi 
completi e sistematici su questa vasta materia.

Fine.

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