Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Curvatura
Vedremo in questo capitolo come il tensore di Riemann è legato alla curvatura di una varietà
n-dimensionale
.
Come prima cosa estendiamo il concetto di deviazione di un vettore lungo un parallelogramma
infinitesimo (vista nel paragrafo precedente) a quella di un vettore lungo un cammino chiuso
infinitesimo qualunque a partire da un punto P della varietà (intendendo come sempre che
il vettore si "muove" lungo il cammino chiuso subendo spostamenti paralleli infinitesimi ).
01 - Deviazione di un vettore lungo un cammino chiuso infinitesimo qualunque.
Consideriamo un punto P di una varietà
ed una curva chiusa T infinitesima di forma
qualsiasi (che contiene ovviamente P ). Consideriamo una superficie qualunque σ che
contenga T e chiamiamo Γ la parte di superficie delimitata dalla curva T .
Sia
una vettore direzione (vettore unitario individuato dai parametri della
direzione
che esso individua sulla varietà) qualunque con origine in P . Graficamente :
(il vettore
non giace in generale sulla superficie σ
).
Facciamo ora compiere al vettore
un circuito completo lungo T (da P a P , con
spostamento parallelo) e chiamiamo
la variazione che il vettore subisce. Graficamente :
Poiché la variazione elementare di
è data dalla usuale formula :
,
la variazione complessiva
sarà :
dove l'integrale è fatto lungo la curva chiusa T .
Introduciamo adesso un sistema di coordinate curvilinee
sulla superficie σ
definite
dalle equazioni :
con i = 1 , 2 , ..., n .
Le coordinate
che passano per il punto P sono indicate nel grafico :
ed i loro versi positivi (secondo i valori crescenti) sono indicati dalle frecce. In questo modo
consideriamo il verso positivo di integrazione lungo la linea chiusa T quello indicato dalla
freccia (partendo da P si segue il verso positivo di
ecc. ).
Con l'introduzione delle coordinate
, inserendo i differenziali delle 
in funzione
delle medesime, la variazione
diventa :
da cui, ponendo :
e :
,
si ottiene più sinteticamente :
dove
e 
sono in
funzione di .
L'integrale di linea che esprime
può essere trasformato in un integrale di superficie
tramite il teorema di Stokes. Si ottiene allora :
dove l'integrale è fatto sulla superficie Γ racchiusa dentro la linea T .
Con un semplice artificio riscriviamo la formula di
nel seguente modo :
.
(1)
L'integrando può essere valutato senza esprimere le funzioni
e in modo
esplicito.
Per fare questo introduciamo l'operatore δ per denotare l'incremento di una quantità
qualunque lungo la coordinata
=
costante quando si passa da
a 
.
Analogamente, indichiamo con δ' l'operatore che esprime l'incremento di una quantità
lungo la coordinata
= costante quando si passa da
a 
.
In particolare si ha :
e :
e si hanno formule analoghe per ogni altra funzione della posizione.
Ricordando che abbiamo posto precedentemente
, si ha allora :
e :
.
Con queste impostazioni, l'integrale (1) che esprime la variazione
diventa :
che, ricordando la definizione di tensore di Riemann, si esplicita in :
.
Introduciamo ora i parametri delle linee coordinate
=
costante e
= costante :
e :
dove
e 
sono le
lunghezza degli intervalli elementari, lungo le suddette linee, le cui
componenti sono
e 
.
Graficamente, per esempio, nel punto P :
L'integrale diviene allora :
.
Introducendo l'elemento infinitesimo d'area dΓ il cui valore è dato da :
,
dove θ è l'angolo fra le due linee coordinate
:
si ottiene :
.
Applicando il teorema del valor medio a questo integrale si ottiene :
dove l'integrando è preso in un punto particolare M e DΓ è l'area della superficie racchiusa
nella curva T .
Se, invece del punto M , scegliamo il punto P , si commette un errore trascurabile (di ordine
inferiore alle grandezze in gioco perché la linea T è infinitesima (omettiamo la valutazione
dell'errore)) per cui otteniamo infine :
.
(2)
Abbiamo quindi dimostrato che la variazione di un vettore
che si sposta parallelamente
lungo un cammino chiuso (da P a P lungo la linea T ) dipende dall'area DΓ della superficie
racchiusa nella curva, dall'angolo θ fra le linee coordinate
in P , dal tensore di
Riemann in P , dal vettore
stesso e dai parametri 
e 
delle linee coordinate
in P .
Graficamente :
Si noti che, come doveva essere, la formula qui trovata è analoga a quella della variazione di
un vettore lungo un parallelogramma infinitesimo.
02 - Formula di Pérès.
Se introduciamo un vettore direzione (vettore unitario individuato dai parametri della direzione
che esso individua sulla varietà)
con origine in P che forma un angolo α
con il vettore
, possiamo determinate l'angolo α
+ Dα fra il vettore 
, dopo il percorso parallelo
lungo la linea chiusa T , ed il vettore
. Graficamente :
Per fare questo, partiamo dal prodotto scalare dei vettori u e v (che sono vettori unitari) :
u · v = cos α .
Differenziando questa espressione col simbolo D si ottiene :
v · Du = -sin α · Dα
( Dv = 0 perché il vettore v è fisso).
Passando alle componenti, il prodotto scalare di sinistra è
per cui, usando
l'espressione (2) , si ottiene :
da cui, passando alle componenti controvarianti di u , si ricava
.
Escludendo il caso in cui sin α = 0 (caso privo di interesse perché si annulla anche il secondo
membro a causa della antisimmetria del tensore di Riemann), la formula può essere scritta :
.
Questa formula, detta formula di Pérès, è la formula cercata e ci sarà utile nelle seguenti
considerazioni sulla curvatura di una varietà.
03 - Curvatura di una
.
Consideriamo ora una superficie ordinaria bidimensionale
. I vettori u e v ed i vettori
ξ e η sono naturalmente posti tutti sulla medesima superficie, la superficie in questione.
Non si perde generalità allora se si fanno coincidere u con ξ e v con η (su di una
superficie, la variazione Dα non dipende dai vettori ξ e η ). La formula di Pérès può
allora, in questo caso, essere scritta :
.
Inoltre, tenendo presente che per n = 2 l'unico elemento significativo del tensore che non
sia nullo è
(si ha ovviamente anche 
e 
) , si
ottiene :
.
A questo punto, occorre esprimere l'angolo α in funzione delle componenti dei vettori u
e v . Per fare questo facciamo il prodotto scalare fra di essi, per cui, essendo vettori unitari,
si ottiene :
(questa formula vale per varietà di ogni dimensione).
Il seno di α è esprimibile nel caso di
dalla formula (omettiamo la dimostrazione) :
dove :
.
Utilizzando queste formule si ottiene :
.
Ponendo poi :
si ottiene infine :
.
Lo scalare K è funzione della posizione tramite il tensore metrico ed il tensore di Riemann
ed esso coincide con la curvatura totale (gaussiana) della superficie nel punto P .
La dimostrazione dell'uguaglianza fra K e la curvatura totale di una superficie in un suo punto
esula dallo scopo di questi scritti introduttivi per cui la omettiamo.
Ci limiteremo solo ad elencare sinteticamente i concetti di geometria differenziale relativi alla
definizione di curvatura totale di una superficie in un punto :
- la curvatura totale di una superficie in un suo punto è definita come il prodotto delle
curvature delle due sezioni principali della superficie nel punto stesso
- le sezioni principali sono sezioni ottenute intersecando la superficie con piani passanti per
la retta perpendicolare alla superficie in quel punto e per le tangenti asintotiche alla superficie
nel punto
- le tangenti asintotiche alla superficie in un suo punto sono le tangenti (in generale due)
che hanno con la superficie nel punto dato un contatto del secondo tipo (almeno)
- la curvatura di una curva in un punto (la sezione di una superficie è appunto una curva)
è l'inverso (1 / R) del raggio di curvatura della curva nel punto stesso
- il raggio di curvatura di una curva in un punto è il raggio del cerchio osculatore a quella
curva in quel punto
- il cerchio osculatore ad una curva in un suo punto è quel cerchio che ha con la curva
un contatto del secondo ordine (almeno)
- si ha un contatto del secondo ordine fra due curve quando in un punto si uguagliano
i valori delle funzioni, delle derivate prime e delle derivate seconde in quel punto.
- analogo concetto per il contatto del secondo ordine fra una retta ed una superficie in
un suo punto
Si noti che se la superficie è euclidea la variazione Dα è ovviamente nulla per cui la curvatura
K è, come deve essere, di conseguenza nulla.
04 - Curvatura di una
.
Per una varietà di dimensione n (> 2) il concetto di curvatura in un suo punto è più complicato
in quanto dipende dai vettori ξ e η che individuano una superficie (contenuta nella varietà)
passante per il punto dato.
Dato un punto P di una
,
si possono definire infinite superficie passanti per P ed
individuate
dai vettori ξ e η che hanno origine in P . Si deduce quindi che la curvatura di una
in P in
generale dipende dalla superficie prescelta per cui non è univoca.
Per rendere più univoca la definizione di curvatura, fra le infinite superficie passanti per P ed
individuate dai vettori ξ e η , scegliamo quelle che sono formate da linee geodetiche passanti
per P ed individuate da ξ e η e da tutte le loro combinazioni lineari ( x = aξ + bη , con a e b
qualunque numero reale) : le cosiddette superficie (o sezioni) geodetiche.
Si definisce allora curvatura riemanniana di una varietà in un suo punto rispetto ad una superficie
geodetica passante per esso la curvatura della superficie geodetica in questione .
Le problematiche relative alla curvatura di una
sono molto complesse e tali da richiedere
approfondimenti molto specialistici. A noi interessano soprattutto i concetto fondamentali e le
idee di base, per cui interrompiamo qui la trattazione rimandando il lettore interessato a testi
completi e sistematici su questa vasta materia.
Fine.
Pagina precedente