E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Coordinate localmente geodetiche (localmente cartesiane)
  


In generale, se il tensore metrico    di una varietà n-dimensionale  ha tutti gli elementi 
costanti
(ferme restanti le condizioni di simmetria e di positività dell'elemento  ds² ), ciò significa 
che la varietà è euclidea ed in essa è definito un sistema di coordinate cartesiane (oblique, non
necessariamente ortogonali, anche se un tensore metrico ad elementi costanti può essere sempre 
trasformato con una opportuna trasformazione di coordinate nel tensore unità corrispondente ad 
un sistema di coordinate cartesiane ortogonali).

Una varietà per cui sia definibile un sistema di coordinate cartesiane (varietà euclidea) si chiama anche
varietà di classe  0 .

In generale, data una varietà    non esiste sempre una trasformazione di coordinate che trasformi il 
tensore metrico in modo che i suoi elementi divengano costanti. In altre parole, non è sempre possibile 
scegliere in una varietà qualunque un sistema di coordinate cartesiane


E' però sempre possibile trovare un sistema di coordinate le quali in un dato punto  P  di una varietà 
siano ivi localmente cartesiane (localmente geodetiche) ovvero che si comportino nelle immediate 
vicinanze del punto  P  come coordinate cartesiane. 

Graficamente, nel caso bidimensionale :



Perché un sistema di coordinate sia in  P  localmente cartesiano è sufficiente che tutte le derivate 
del tensore metrico rispetto alle coordinate siano nulle nel punto  P (e viceversa). Se ciò si verifica, 
i simboli di Christoffel sono tutti identicamente nulli (i simboli di Christoffel sono infatti funzioni 
delle derivate prime del tensore metrico). In questo caso, la variazione di un vettore che subisce uno  
spostamento parallelo infinitesimo a partire dal punto  P  è, come nel caso euclideo, nullo

Questi risultati sono di grande importanza anche per le loro applicazioni fisiche nella teoria della 
relatività generale : uno spazio-tempo curvo (perché incurvato da un campo gravitazionale)  
è localmente piatto, ovvero in un qualsiasi suo punto è sempre possibile costruire un sistema di  
coordinate spazio-temporali localmente cartesiane (sistema di riferimento inerziale).

Vediamo ora come tutto ciò si esprime matematicamente.

Consideriamo nella varietà n-dimensionale   la trasformazione di coordinate :

       

(dove le  devono soddisfare le usuali condizioni restrittive) che corrisponde ad un sistema di 
coordinate localmente cartesiano nel punto  P .

Il tensore metrico in funzione delle nuove coordinate     è    e le sue derivate in  P  sono 
(per ipotesi) nulle, per cui :

        .

Anche i simboli di Christoffel espressi in funzione delle    sono nulli in  P , per cui :

       

(il segno sopra le graffe indica appunto che i simboli di Christoffel sono espressi in funzione delle nuove 
coordinate  ) .

Cerchiamo ora una trasformazione di coordinate generale che, nell'intorno di un punto  P  , introduca
nella varietà un sistema di coordinate localmente cartesiane.

Per fare questo introduciamo la condizione restrittiva che in  P  le vecchie coordinate    si annullino
identicamente. Questa condizione semplificatrice, che corrisponde ad una traslazione degli assi coordinati 
(curvilinei), è sempre applicabile, basta eseguire la trasformazione :

        ,

dove le  a  sono opportune costanti, per cui, in effetti, non vi è perdita di generalità.

Si dimostra (omettiamo la dimostrazione) che la trasformazione :

       

(dove i simboli di Christoffel sono presi in funzione delle vecchie coordinate    nel punto  P (di 
coordinate  = 0 )) introduce nella varietà un sistema di coordinate localmente cartesiane 
in  P .

Si noti che per questa trasformazione vale la proprietà :

       

dove la  δ  è la "delta" di Kronecker.

Questo significa che ogni tensore definito nel punto  P  non cambia i valori delle proprie componenti nella
suddetta trasformazione (ciò si può vedere facilmente applicando la legge generale di trasformazione dei 
tensori). Questo vale in particolare, ovviamente, anche per il tensore metrico.

Un'altra proprietà della trasformazione sopra introdotta è che :

       

cioè una direzione qualunque a partire da  P  si conserva nella trasformazione. 

Geometricamente ciò significa che, per esempio, le nuove coordinate hanno in  P  le stesse direzioni delle 
vecchie coordinate (sempre in  P ).

In  2  dimensioni :



Infine, riportiamo l'importante proprietà delle coordinate localmente cartesiane per cui le  n  ipersuperficie  
= costante  che passano per  P   sono ipersuperficie geodetiche, ovvero formate da linee geodetiche,
nell'intorno di  P (in verità possono essere geodetiche ovunque). Ciò si deduce direttamente dal fatto che i 
simboli di Christoffel nelle nuove coordinate    sono tutti nulli in  P  e dalla proprietà che hanno le linee 
geodetiche di essere autoparallele, ovvero un vettore di una varietà che sia tangente ad una geodetica in 
un punto, si sposta parellelamente sulla geodetica stessa.

Questo ultimo fatto giustifica l'altro nome (cioè "localmente geodetiche") che comunemente si dà alle coordinate 
"localmente cartesiane".

Fine.

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