Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Coordinate localmente geodetiche (localmente cartesiane)
In generale, se il tensore metrico di una varietà n-dimensionale ha tutti gli elementi
costanti (ferme restanti le condizioni di simmetria e di positività dell'elemento ds² ), ciò significa
che la varietà è euclidea ed in essa è definito un sistema di coordinate cartesiane (oblique, non
necessariamente ortogonali, anche se un tensore metrico ad elementi costanti può essere sempre
trasformato con una opportuna trasformazione di coordinate nel tensore unità corrispondente ad
un sistema di coordinate cartesiane ortogonali).
Una varietà per cui sia definibile un sistema di coordinate cartesiane (varietà euclidea) si chiama anche
varietà di classe 0 .
In generale, data una varietà non esiste sempre una trasformazione di coordinate che trasformi il
tensore metrico in modo che i suoi elementi divengano costanti. In altre parole, non è sempre possibile
scegliere in una varietà qualunque un sistema di coordinate cartesiane.
E' però sempre possibile trovare un sistema di coordinate le quali in un dato punto P di una varietà
siano ivi localmente cartesiane (localmente geodetiche) ovvero che si comportino nelle immediate
vicinanze del punto P come coordinate cartesiane.
Graficamente, nel caso bidimensionale :
Perché un sistema di coordinate sia in P localmente cartesiano è sufficiente che tutte le derivate
del tensore metrico rispetto alle coordinate siano nulle nel punto P (e viceversa). Se ciò si verifica,
i simboli di Christoffel sono tutti identicamente nulli (i simboli di Christoffel sono infatti funzioni
delle derivate prime del tensore metrico). In questo caso, la variazione di un vettore che subisce uno
spostamento parallelo infinitesimo a partire dal punto P è, come nel caso euclideo, nullo
Questi risultati sono di grande importanza anche per le loro applicazioni fisiche nella teoria della
relatività generale : uno spazio-tempo curvo (perché incurvato da un campo gravitazionale)
è localmente piatto, ovvero in un qualsiasi suo punto è sempre possibile costruire un sistema di
coordinate spazio-temporali localmente cartesiane (sistema di riferimento inerziale).
Vediamo ora come tutto ciò si esprime matematicamente.
Consideriamo nella varietà n-dimensionale la trasformazione di coordinate :
(dove le devono soddisfare le usuali condizioni restrittive) che corrisponde ad un sistema di
coordinate localmente cartesiano nel punto P .
Il tensore metrico in funzione delle nuove coordinate è e le sue derivate in P sono
(per ipotesi) nulle, per cui :
.
Anche i simboli di Christoffel espressi in funzione delle sono nulli in P , per cui :
(il segno sopra le graffe indica appunto che i simboli di Christoffel sono espressi in funzione delle nuove
coordinate ) .
Cerchiamo ora una trasformazione di coordinate generale che, nell'intorno di un punto P , introduca
nella varietà un sistema di coordinate localmente cartesiane.
Per fare questo introduciamo la condizione restrittiva che in P le vecchie coordinate si annullino
identicamente. Questa condizione semplificatrice, che corrisponde ad una traslazione degli assi coordinati
(curvilinei), è sempre applicabile, basta eseguire la trasformazione :
,
dove le a sono opportune costanti, per cui, in effetti, non vi è perdita di generalità.
Si dimostra (omettiamo la dimostrazione) che la trasformazione :
(dove i simboli di Christoffel sono presi in funzione delle vecchie coordinate nel punto P (di
coordinate = 0 )) introduce nella varietà un sistema di coordinate localmente cartesiane
in P .
Si noti che per questa trasformazione vale la proprietà :
dove la δ è la "delta" di Kronecker.
Questo significa che ogni tensore definito nel punto P non cambia i valori delle proprie componenti nella
suddetta trasformazione (ciò si può vedere facilmente applicando la legge generale di trasformazione dei
tensori). Questo vale in particolare, ovviamente, anche per il tensore metrico.
Un'altra proprietà della trasformazione sopra introdotta è che :
cioè una direzione qualunque a partire da P si conserva nella trasformazione.
Geometricamente ciò significa che, per esempio, le nuove coordinate hanno in P le stesse direzioni delle
vecchie coordinate (sempre in P ).
In 2 dimensioni :
Infine, riportiamo l'importante proprietà delle coordinate localmente cartesiane per cui le n ipersuperficie
= costante che passano per P sono ipersuperficie geodetiche, ovvero formate da linee geodetiche,
nell'intorno di P (in verità possono essere geodetiche ovunque). Ciò si deduce direttamente dal fatto che i
simboli di Christoffel nelle nuove coordinate sono tutti nulli in P e dalla proprietà che hanno le linee
geodetiche di essere autoparallele, ovvero un vettore di una varietà che sia tangente ad una geodetica in
un punto, si sposta parellelamente sulla geodetica stessa.
Questo ultimo fatto giustifica l'altro nome (cioè "localmente geodetiche") che comunemente si dà alle coordinate
"localmente cartesiane".
Fine.
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