Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Campi
Il concetto di campo è il concetto centrale della fisica. Quando in un certo spazio i corpi risentono dell'azione
di una forza, ovvero vengono disturbati nella loro tendenza alla quiete od al moto rettilineo uniforme, stato in
cui tenderebbero a permanere, (principio d'inerzia), si dice che in quello spazio è presente un campo di forze.
Generalizzando questo concetto, si dice che in un certo spazio spazio è presente un campo quando nei suoi punti
è rilevabile una qualche grandezza fisica.
Un campo può essere caratterizzato da una grandezza scalare, come per esempio il potenziale elettrico, che non
ha componenti se non il valore stesso che assume in un punto, da una grandezza vettoriale, come per esempio
il campo elettrico, per cui, oltre alla sua intensità è importante anche la direzione su cui agisce ed il suo verso o da
un tensore, come per esempio il campo gravitazionale secondo la RG.
Dal punto di vista matematico, poiché i tensori racchiudono in sé sia gli scalari che i vettori, un campo è descritto da
una applicazione da
ad ogni
componente del tensore che caratterizza
il campo stesso, ovvero ogni componente
del tensore è una funzione di
. Simbolicamente :
.
dove, per brevità, abbiamo indicato un solo indice covariante ed un solo indice controvariante.
01 - Campi scalari.
Un tensore di ordine (rango) zero è uno scalare. Una funzione :
rappresenta un campo scalare (più semplicemente uno scalare).
Esempi di campi scalari sono : la temperatura, il potenziale elettrico, ecc.
02 - Campi vettoriali.
Un tensore di ordine (rango) uno è un vettore. L'unica componente di un vettore può essere covariante oppure
controvariante. Una funzione :
rappresenta un campo vettoriale covariante mentre :
rappresenta un campo vettoriale controvariante.
Resta inteso che la funzione
in effetti è costituita dalle n ( n è la dimensione dello
spazio di
riferimento) funzioni :
nel caso di un vettore covariante ed analogamente nel caso di un vettore controvariante.
Le n funzioni componenti di un campo vettoriale sono le componenti rispetto ad un sistema di coordinate che il
vettore assume in un dato punto.
Per chiarire il concetto consideriamo in R ² il vettore definito dalle seguenti funzioni :
che nel punto (0 , 0) determinano il vettore (1 , 0) , nel punto (1 , 1) il vettore (3 , 2) , nel punto (2 , 1) il
vettore (4 , 6) , nel punto (1 , 2) il vettore (4 , 3) ecc. (basta sostituire i valori di x e y ). Graficamente :
Esempi di campi vettoriali sono : il campo elettrico, il campo magnetico, ecc.
03 - Campi tensoriali.
Una funzione
rappresenta un campo tensoriale (per semplicità consideriamo un tensore
di ordine 2
con una componente covariante ed una controvariante). In effetti si tratta delle
funzioni, dove
n è la dimensione
dello spazio di riferimento ed r è l'ordine del tensore :
.
Come esempio di campo tensoriale riportiamo il tensore metrico fondamentale
di uno spazio
(varietà)
n-dimensionale.
Come vedremo in seguito, le proprietà metriche di una varietà sono definite dal suo tensore metrico
che,
espresso nelle sue componenti, è rappresentabile dalla matrice simmetrica :
dove
.
Tramite il tensore metrico l'elemento infinitesimo di distanza ds è dato dalla formula fondamentale :
dove l'elemento infinitesimo di distanza è al quadrato, la sommatoria sugli indici ripetuti è omessa, ed i
vettori infinitesimi spaziali dx sono espressi nelle loto componenti controvarianti.
La formula sopra riportata esprime la cosiddetta metrica di Riemann di uno spazio (varietà) curvo.
Si noti che la metrica euclidea è solo un caso particolare della più generale metrica di Riemann
corrispondente al tensore unità :
In questo caso la metrica vale :
.
Secondo la RG il campo gravitazionale definisce la struttura metrica dello spazio-tempo quadridimensionale
ovvero definisce ilo tensore metrico della varietà quadridimensionale che costituisce lo spazio-tempo, anzi,
il tensore metrico coincide col campo gravitazionale stesso.
Da questo si deduce l'importanza del tensore metrico
.
Fine.
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