E-school  di  Arrigo Amadori

Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)


Algebra vettoriale


Esponiamo qui le operazioni fra i vettori dello spazio vettoriale euclideo reale n-dimensionale  .

Un generico vettore  V  di questo spazio ha  n  componenti rispetto ad un sistema di coordinate 
cartesiane ortogonali ed è indicato come . 

Seguendo l'usuale formalismo degli indici, possiamo inoltre indicare il vettore  V  tramite le sue componenti, 
ovvero useremo indipendentemente  V  e    per esprimere il vettore stesso (l'indice  i  assume i valori 
interi da  1  ad  n ).

Ribadiamo ulteriormente il significato di componente di un vettore rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane tramite il seguente esempio in  R ² :



dove il vettore  V  può essere "applicato" in qualunque punto.

Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne rappresenta la lunghezza definibile tramite il 
teorema di Pitagora. Il modulo del vettore  A  è indicato con  |A|  e vale :

        .

01 - Operazioni elementari.

Esiste il vettore nullo le cui componenti sono tutte nulle : 

         0 = (0 , ... , 0)  

e per ogni vettore  V  esiste il vettore inverso  -V  ottenuto moltiplicando per  -1  tutte le sue 
componenti per cui :

         .

Nel caso di  R ³ , il vettore inverso di un vettore dato è quel vettore di uguale direzione, intensità ma 
di verso opposto.

Dati i due vettori  A  e  B , si definisce per addizione  l'operazione che fa ottenere come risultato il 
vettore  C  = A + B  le cui componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti :

        .

L'addizione fra due vettori ha una importante interpretazione grafica nel caso di  R ³  che va sotto
il nome di regola del parallelogramma :



(abbiamo fatto coincidere il piano  Oxy  col piano su cui giacciono i vettori  A  e  B ).

Questa regola corrisponde in fisica alla legge di composizione delle forze.

Dati uno scalare (numero reale)  k  ed un vettore  A , si definisce la moltiplicazione per uno scalare 
come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore  B = k A  le cui componenti sono date dal 
prodotto di   k  per le corrispondenti componenti di  A :

        .

In  R ³ , moltiplicando un vettore per   k  si ottiene un altro vettore di uguale direzione, intensità
moltiplicata per  |k|  e stesso verso, se  k  è positivo, o verso opposto, se  k  è negativo.

Ovviamente, moltiplicando un vettore per  -1  si ottiene il vettore inverso e moltiplicando un vettore
per  0  si ottiene il vettore nullo.

02 - Prodotto scalare.

Fra due vettori  A  e  B  è possibile definire due tipi di moltiplicazione : quella scalare, che dà come
risultato uno scalare, e quella vettoriale, che dà come risultato un vettore.

Il prodotto scalare (o prodotto interno) fra due vettori è definito come la somma dei prodotti delle 
componenti corrispondenti ed è indicato con il simbolo  ·  , ovvero :

       

dove è sempre sottintesa la convenzione di sommare sugli indici ripetuti (cioè  ).

Nel caso di  R ³ , il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico di essere
uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo fra di essi :

        .

Graficamente :



Una tipica applicazione fisica del prodotto scalare è il lavoro. Quando una forza subisce uno
spostamento vi è lavoro ed il suo valore è appunto dato dal prodotto scalare fra il vettore
forza per il vettore spostamento.

03 - Prodotto vettoriale in  R ³ .

Il prodotto vettoriale è limitato al caso di  R ³ .

Il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) fra due vettori dà come risultato un vettore. Il prodotto
vettoriale viene indicato con il simbolo  x  oppure  Λ  . Per calcolare le componenti del prodotto 
vettoriale è comodo introdurre i versori unitari  i , j , k . Essi sono i vettori di modulo  1  indicati 
in figura :



Con l'aiuto di questi versori, un vettore  V  può essere espresso come  . 

Il prodotto vettoriale fra i vettori  A  e  B  è dato allora da :

       

Il significato geometrico del prodotto vettoriale è il seguente : il risultato ottenuto da  A x B
è un vettore che ha per direzione una retta perpendicolare al piano dei due vettori  A  e  B ,
per verso quello che si ottiene immaginando di fare ruotare una vite destrorsa portando il
primo vettore  A  sul secondo  B  in modo da compiere l'angolo minore e per intensità 
, ovvero l'area del parallelogramma formato dai due vettori  A  e  B
( α  è l'angolo fra i vettori  A  e  B  ed il parallelogramma, non indicato in figura, è costruito
nel modo solito) :



Un esempio di grandezza fisica rappresentata da un prodotto vettoriale è il momento angolare 
(o momento della quantità di moto). Esso viene definito come il prodotto vettoriale fra il raggio vettore
(vettore che individua una particella a partire dall'origine degli assi cartesiani) e la quantità di moto
(vettore che si ottiene moltiplicando la massa, che è uno scalare, per la velocità della particella in
questione, che è un vettore).

04 - Formule.

Diamo qui (senza dimostrazione) alcune formule di calcolo che coinvolgono il prodotto vettoriale :

        A x (B + C) = A x B + A x C

        (kA) x B = k(A x B)

        A · (B x C) = (A x B) · C 

        A x (B x C) = B · (A · C) - C · (A · B)

Fine.

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