Calcolo differenziale assoluto (calcolo tensoriale)
Algebra vettoriale
Esponiamo qui le operazioni fra i vettori dello spazio vettoriale euclideo reale n-dimensionale
.
Un generico vettore V di questo spazio ha n componenti rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali ed è indicato come
.
Seguendo l'usuale formalismo degli indici, possiamo inoltre indicare il vettore V tramite le sue componenti,
ovvero useremo indipendentemente V e
per esprimere il vettore stesso (l'indice i assume i valori
interi da 1 ad n ).
Ribadiamo ulteriormente il significato di componente di un vettore rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane tramite il seguente esempio in R ² :
dove il vettore V può essere "applicato" in qualunque punto.
Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne rappresenta la lunghezza definibile tramite il
teorema di Pitagora. Il modulo del vettore A è indicato con |A| e vale :
.
01 - Operazioni elementari.
Esiste il vettore nullo le cui componenti sono tutte nulle :
0 = (0 , ... , 0)
e per ogni vettore V esiste il vettore inverso -V ottenuto moltiplicando per -1 tutte le sue
componenti per cui :
.
Nel caso di R ³ , il vettore inverso di un vettore dato è quel vettore di uguale direzione, intensità ma
di verso opposto.
Dati i due vettori A e B , si definisce per addizione l'operazione che fa ottenere come risultato il
vettore C = A + B le cui componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti :
.
L'addizione fra due vettori ha una importante interpretazione grafica nel caso di R ³ che va sotto
il nome di regola del parallelogramma :
(abbiamo fatto coincidere il piano Oxy col piano su cui giacciono i vettori A e B ).
Questa regola corrisponde in fisica alla legge di composizione delle forze.
Dati uno scalare (numero reale) k ed un vettore A , si definisce la moltiplicazione per uno scalare
come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore B = k A le cui componenti sono date dal
prodotto di k per le corrispondenti componenti di A :
.
In R ³ , moltiplicando un vettore per k si ottiene un altro vettore di uguale direzione, intensità
moltiplicata per |k| e stesso verso, se k è positivo, o verso opposto, se k è negativo.
Ovviamente, moltiplicando un vettore per -1 si ottiene il vettore inverso e moltiplicando un vettore
per 0 si ottiene il vettore nullo.
02 - Prodotto scalare.
Fra due vettori A e B è possibile definire due tipi di moltiplicazione : quella scalare, che dà come
risultato uno scalare, e quella vettoriale, che dà come risultato un vettore.
Il prodotto scalare (o prodotto interno) fra due vettori è definito come la somma dei prodotti delle
componenti corrispondenti ed è indicato con il simbolo · , ovvero :
dove è sempre sottintesa la convenzione di sommare sugli indici ripetuti (cioè
).
Nel caso di R ³ , il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico di essere
uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo fra di essi :
.
Graficamente :
Una tipica applicazione fisica del prodotto scalare è il lavoro. Quando una forza subisce uno
spostamento vi è lavoro ed il suo valore è appunto dato dal prodotto scalare fra il vettore
forza per il vettore spostamento.
03 - Prodotto vettoriale in R ³ .
Il prodotto vettoriale è limitato al caso di R ³ .
Il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) fra due vettori dà come risultato un vettore. Il prodotto
vettoriale viene indicato con il simbolo x oppure Λ . Per calcolare le componenti del prodotto
vettoriale è comodo introdurre i versori unitari i , j , k . Essi sono i vettori di modulo 1 indicati
in figura :
Con l'aiuto di questi versori, un vettore V può essere espresso come
.
Il prodotto vettoriale fra i vettori A e B è dato allora da :
Il significato geometrico del prodotto vettoriale è il seguente : il risultato ottenuto da A x B
è un vettore che ha per direzione una retta perpendicolare al piano dei due vettori A e B ,
per verso quello che si ottiene immaginando di fare ruotare una vite destrorsa portando il
primo vettore A sul secondo B in modo da compiere l'angolo minore e per intensità
, ovvero l'area
del parallelogramma formato dai due vettori A e B
( α è l'angolo fra i vettori A e B ed il parallelogramma, non indicato in figura, è costruito
nel modo solito) :
Un esempio di grandezza fisica rappresentata da un prodotto vettoriale è il momento angolare
(o momento della quantità di moto). Esso viene definito come il prodotto vettoriale fra il raggio vettore
(vettore che individua una particella a partire dall'origine degli assi cartesiani) e la quantità di moto
(vettore che si ottiene moltiplicando la massa, che è uno scalare, per la velocità della particella in
questione, che è un vettore).
04 - Formule.
Diamo qui (senza dimostrazione) alcune formule di calcolo che coinvolgono il prodotto vettoriale :
A x (B + C) = A x B + A x C
(kA) x B = k(A x B)
A · (B x C) = (A x B) · C
A x (B x C) = B · (A · C) - C · (A · B)
Fine.
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