Queste sono le caratteristiche salienti della teoria della relatività generale proposta da Einstein
nel 1915 :
- principio di equivalenza
La teoria della relatività generale si basa su un fatto molto semplice che è sotto gli occhi
di tutti : il modo con cui cadono i corpi in presenza di un campo gravitazionale.
E' sorprendente come una teoria così geniale e difficile si basi su un fatto così apparentemente
banale !!!
Consideriamo il campo gravitazionale in prossimità della superficie terrestre ed osserviamo
la caduta libera di due corpi di massa diversa lasciati cadere allo stesso istante da una
certa quota (la stessa per entrambi). Consideriamo trascurabile l'effetto di resistenza dell'aria
la quale si oppone al moto dei due corpi.
L'esperienza mostra che i due corpi, anche se dotati di massa diversa, cadono allo
stesso modo e toccano terra in uno stesso istante. Essi cadono con accelerazione
costante il cui valore è circa (a livello del mare) :
questo significa che i due corpi, ogni secondo, aumentano la propria velocità di 9,8 m/s .
Naturalmente l'esperimento è "disturbato" dalla presenza dell'aria che oppone una resistenza
al moto dei due corpi, ma, per corpi sufficientemente "aerodinamici" e per cadute da brevi altezze,
l'azione dell'aria può essere trascurata e quello che si osserva è l'effettiva caduta contemporanea
dei due corpi. Se si potesse effettuare l'esperimento in assenza di aria (per esempio in un
tubo in cui è stato praticato il vuoto) si otterrebbero risultati ancora più precisi.
Galileo e Newton notarono questa caratteristica del campo gravitazionale, ma per essi
questo fatto fu solo una "interessante" particolarità. Per Einstein, invece, questo fenomeno
divenne la "chiave di volta" della sua teoria.
Consideriamo ora una navicella spaziale che navighi per inerzia (cioè a motori spenti)
in una regione di spazio della nostra galassia molto lontana da ogni stella e pianeta in modo
da non sentirne l'attrazione gravitazionale (con sufficiente approssimazione, perché non esistono
luoghi dello spazio completamente privi di campo gravitazionale). La navicella, per il principio
d'inerzia, poiché non risente di alcuna forza, si muoverà di moto rettilineo uniforme rispetto
alle stelle fisse (che possiamo considerare come il sistema di riferimento inerziale a cui
riferire il moto della navicella). La navicella stessa sarà un sistema di riferimento inerziale
(perché in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse).
Supponiamo che il comandante della navicella sia seduto (vincolato) al suo posto di comando e
che nell'interno della navicella vi siano degli oggetti di massa diversa fluttuanti nell'abitacolo.
Vediamo spesso alla televisione simili immagini in cui oggetti vari e gli astronauti stessi fluttuano
senza peso negli abitacoli delle navicelle spaziali, per cui questa situazione ci appare familiare.
Gli oggetti fluttuanti nella navicella siano liberi e non soggetti ad alcuna forza. Essi, per
il principio d'inerzia, avranno (rispetto alla navicella) velocità pressoché nulle e persevereranno
nel loro stato indefinitamente finché qualcosa non venga a disturbarne lo stato.
Gli stessi oggetti verranno visti rispetto al sistema di riferimento inerziale delle stelle fisse
muoversi di moto rettilineo uniforme, dello stesso moto con cui è vista muoversi la navicella.
Gli oggetti quindi sono in quiete rispetto alla navicella ed in moto rettilineo uniforme rispetto
alle stelle fisse (con lo stesso moto della navicella).
Supponiamo che ad un certo istante il comandante accenda il motore a razzo in modo che
esso imprima alla navicella una accelerazione costante (rispetto alle stelle fisse) pari a
. Cosa osserverà il comandante ?
La risposta è semplice. Egli osserverà gli oggetti che prima fluttuavano liberamente nell'abitacolo
cadere con una accelerazione g esattamente uguale in intensità a quella impressa dal motore
alla navicella ma di verso opposto. Il comandante vedrà cadere gli oggetti indipendentemente
dalla loro massa nello stesso modo con cui noi, nel campo gravitazionale terrestre, li vedremmo
cadere.
Gli abitanti della navicella spaziale in moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto alle
stelle fisse esperimentano la caduta degli oggetti che li circondano allo stesso modo di noi
abitanti della superficie della Terra. Anzi, se essi non avessero la possibilità di "guardare
fuori", potrebbero tranquillamente affermare di non essere in viaggio dentro una navicella
spaziale, ma di essere seduti comodamente nel loro salotto di casa !!! Essi non sarebbero
assolutamente in grado, facendo esperimenti di fisica all'interno della navicella, di distinguere
fra il moto accelerato della navicella stessa e il campo gravitazionale sulla superficie terrestre.
Possiamo allora affermare con certezza che :
un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale
(accelerato).
Questo fatto è una legge di natura e va sotto il nome di principio di equivalenza.
Ribadiamo il fatto che la navicella spaziale, da quando comincia ad accelerare rispetto alle
stelle fisse (a causa dell'accensione del motore), cessa di essere un sistema di riferimento
inerziale e diventa un sistema di riferimento non inerziale (si dice anche sistema di
riferimento accelerato).
Per studiare un campo gravitazionale possiamo allora prendere al suo posto, in virtù del
principio di equivalenza, un apposito sistema di riferimento accelerato. Esso descriverà
esattamente le proprietà di quel campo gravitazionale.
- spazio-tempo curvo
Consideriamo a questo punto una fondamentale conseguenza del principio di equivalenza.
Prendiamo un sistema di riferimento inerziale K (per semplicità bidimensionale) e su di
esso tracciamo una circonferenza solidale con esso. Consideriamo anche un sistema
di riferimento rotante K' centrato nel centro di K e rotante rispetto a K con velocità
angolare costante ed in senso antiorario (la velocità angolare è il rapporto fra l'angolo
compiuto nella rotazione ed il tempo impiegato a compierlo) .
Come verrà vista rispetto a K' una porzione di circonferenza l sufficientemente piccola
tale da essere considerata approssimativamente rettilinea ?
Il sistema K' vedrà il segmento l muoversi di moto circolare uniforme con velocità di
rotazione opposta a quella con cui K' ruota rispetto a K .
Ciò è esattamente quello che si vede quando si sale su una giostra !! Il "mondo" appare
ruotare attorno all'osservatore sulla giostra con una velocità angolare uguale in intensità
ma contraria in verso rispetto a quella con cui la giostra ruota rispetto a terra.
D'altra parte è fondamentale notare che il sistema rotante K' , così come il sistema accelerato
rappresentato dalla navicella spaziale descritta sopra, non è un sistema di riferimento inerziale.
Il sistema rotante, movendosi di moto non rettilineo uniforme rispetto al sistema di riferimento inerziale
K , non può essere un sistema di riferimento inerziale.
Il sistema rotante K' , allora, per il principio di equivalenza, potrebbe essere equivalente
ad un particolare campo gravitazionale.
Ma che ne è del segmento di circonferenza l considerato sopra ? Esso, a causa delle
trasformazioni di Lorentz della teoria della relatività ristretta, apparirà rispetto a
K' più corto di quanto esso appare rispetto al sistema K . Il raggio della circonferenza,
al contrario, siccome è visto ruotare da K' non nella direzione del moto, non subisce
alcuna contrazione (rispetto a K' ).
Siamo allora giunti alla conclusione che K' vede la circonferenza più corta di quanto essa
appare rispetto a K , per cui il rapporto fra essa (vista da K' ) ed il raggio non è più
(circa 6,28 ) come ci si potrebbe aspettare. Siamo giunti allora alla sorprendente conclusione
che rispetto a K' (il sistema rotante) la geometria euclidea non è più valida.
La geometria euclidea è la geometria che tutti abbiamo studiato a scuola. E' la geometria
in cui valgono il teorema di Pitagora e l'assioma delle rette parallele secondo il quale da
un punto esterno ad una retta si può condurre una sola retta parallela alla retta data. Nella
geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed il rapporto fra
la lunghezza di una circonferenza ed il rispettivo raggio è
.
Questi sono solo alcuni
esempi fra i tanti specifici della geometria euclidea e sono esempi che ci sono del tutto
familiari.
Orbene la geometria euclidea, dal punto di vista matematico, non è l'unica geometria
possibile. In verità sono possibili infinite geometrie diverse (non euclidee) nelle quali
non valgono più gli assiomi ed i teoremi della geometria euclidea a noi tanto "cara".
Sorge allora spontanea la domanda : la realtà fisica quale geometria segue ? Per rispondere
continuiamo il discorso precedentemente interrotto.
Abbiamo visto che rispetto al sistema rotante K' non valgono più gli usuali teoremi della
geometria euclidea. Possiamo allora affermare che lo spazio, rispetto a K' , non è più euclideo
ma è curvo (si usa dire spazio piatto al posto di spazio euclideo e spazio curvo invece di
spazio non euclideo).
Ma un campo gravitazionale è del tutto equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale.
Per questo motivo e per quanto mostrato sopra, in generale un campo gravitazionale è
equivalente ad uno spazio curvo, ovvero un campo gravitazionale incurva lo spazio. Ecco
allora giustificato il perché si usa dire che un campo gravitazionale incurva la spazio.
Siccome il tempo, come sappiamo dalla relatività ristretta, è intimamente legato allo spazio,
possiamo estendere il concetto affermando che :
un campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo.
Questo risultato è di enorme importanza e costituisce il nucleo concettuale su cui si fonda
la teoria della relatività generale. Si tratta anche di un concetto assolutamente rivoluzionario
e totalmente in antitesi con il senso comune secondo il quale lo spazio è da considerarsi del
tutto euclideo.
- principio di relatività generale
Secondo il principio di relatività ristretta, le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi
di riferimento inerziali. Purtroppo, però, i sistemi di riferimento inerziali non esistono nella realtà,
sono una astrazione matematica valida solo approssimativamente. La fisica, allora, avrebbe
leggi invarianti (che non cambiano) solo in sistemi astratti, non riscontrabili nella realtà.
Nella realtà le leggi della fisica dovrebbero essere diverse per ogni sistema di riferimento
qualunque prendessimo in considerazione.
Einstein superò questa grave limitazione affermando che le leggi della fisica devono essere le
stesse in tutti i sistemi di riferimento (inerziali e non). Questa affermazione va sotto il nome
di principio di relatività generale.
Si tratta quindi di riscrivere le leggi della fisica in modo da soddisfare questo principio.
- equazione gravitazionale di Einstein
Il modo con cui il campo gravitazionale incurva lo spazio tempo è descritto dall'equazione
gravitazionale di Einstein. Si tratta di una equazione estremamente complessa che può
essere sintetizzata nel seguente schema :
curvatura dello spazio-tempo = distribuzione della massa e dell'energia .
A sinistra si trova un termine che esprime quanto lo spazio tempo viene incurvato dal campo
gravitazionale. A destra si trova un termine che descrive come la materia e l'energia, che creano
il campo gravitazionale, sono distribuite nello spazio. Si noti che a "creare" il campo gravitazionale
non è solo la materia dotata di massa ma anche l'energia. Sempre secondo Einstein, massa
ed energia sono equivalenti secondo la nota formula
e si possono trasformare
una nell'altra.
- possibilità di vari tipi di soluzioni
L'equazione gravitazionale di Einstein è, come dicevamo, molto complessa e può essere
risolta esattamente solo in pochissimi casi. Negli altri casi ci si accontenta di soluzioni
approssimate.
L'equazione di Einstein ha la fondamentale proprietà di permettere di considerare l'universo
nel suo insieme, permette cioè di fondare una cosmologia su basi molto più concrete e
precise di ogni altra teoria.
Conoscendo la distribuzione delle masse e dell'energia in tutto l'universo in un dato istante,
tramite l'equazione di Einstein, possiamo in linea di principio (in verità le cose sono assai più
complicate) conoscere come esso si evolverà nel tempo o come esso era nel passato. Questo
fatto è di importanza capitale.
L'equazione, però, possiede, oltre che una intrinseca difficoltà matematica, anche la caratteristica
di permettere diversi tipi di soluzioni tutte matematicamente valide corrispondenti a diversi tipi di
geometrie possibili. Sono possibili cioè vari e diversi modelli di universo. L'equazione di Einstein
descrive, magari con qualche aggiustamento, allo stesso tempo modelli stazionari (che non cambiano
nel tempo) e modelli evolutivi (che al contrario variano nel tempo).
Quale modello, fra i possibili descritti dall'equazione, è quello effettivo che l'universo ha "scelto" ?
Il discorso è tuttora aperto e non si conosce ancora con certezza la risposta anche se certi recenti
indizi e riscontri astronomici condurrebbero a pensare ad un modello piatto che si espande con
velocità crescente.