Le correzioni al modello cosmologico newtoniano furono effettuate da Einstein a partire dal 1905.
Fra '800 e '900 si aprì un periodo di intensa e profonda discussione sui principi generali della fisica
che portarono ad un radicale mutamento del modo di vedere il mondo. In quel periodo nacquero le
due grandi teorie che rivoluzionarono le fondamenta della fisica classica : la teoria della relatività
e la meccanica quantistica.
Anche la cosmologia, ovviamente, risentì delle nuove idee e, grazie soprattutto alla teoria della
relatività, venne completamente reimpostata e riscritta divenendo uno dei capitoli centrali della
fisica.
La teoria della relatività, con il suo nuovo e più preciso modo di concepire i principi su cui si basano
i fenomeni fisici su larga scala (i fenomeni microscopici vengono descritti dalla meccanica quantistica)
diede nuova linfa agli studi di cosmologia permettendo di produrre modelli cosmologici sempre più
in grado di spiegare l'origine, lo stato attuale e l'evoluzione futura dell'universo.
La teoria della relatività costituisce quindi la base su cui si costruisce la cosmologia che per questo
viene detta relativistica.
La teoria della relatività si suddivide in due parti : la teoria della relatività ristretta (o particolare)
e la teoria della relatività generale.
La prima si occupa esclusivamente dei sistemi di riferimento inerziali, mentre la seconda si occupa di
tutti i sistemi di riferimento (anche quelli accelerati) e della gravità.
03a - Teoria della relatività ristretta.
Queste sono le caratteristiche salienti della teoria della relatività ristretta :
- velocità della luce finita e costante
L'esperienza (in particolare certi esperimenti cruciali eseguiti fra '800 e '900 quali il famoso
esperimento di Michelson-Morley ) mostra che la velocità della luce (in generale della radiazione
elettromagnetica) nel vuoto è costante e vale circa :
c = 300.000 km/s
inoltre essa è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali e non può essere superata.
Questa affermazione va sotto il nome di principio di costanza della velocità della luce.
- trasformazioni di Lorentz
Consideriamo i due sistemi di riferimento inerziali K e K' in moto relativo rettilineo uniforme
con velocità V :
Consideriamo che solidalmente al sistema K' venga accesa una torcia elettrica che emette
luce nella direzione del moto :
Mentre rispetto a K' la velocità della luce è c , quanto sarà essa rispetto a K ?
La risposta secondo la meccanica classica, applicando le trasformazioni di Galileo, sarebbe :
c + V .
Si tratta però di un risultato che, anche se conforme al "buon senso", contraddice il principio
di costanza della velocità della luce. Infatti rispetto a K la luce verrebbe vista viaggiare ad
una velocità superiore a c . Risulta per questo chiaro che le trasformazioni di Galileo, perché
sia soddisfatto il suddetto principio, non sono più valide e devono essere corrette.
Le trasformazioni che soddisfano il principio di costanza della velocità della luce sono le
trasformazioni di Lorentz. Secondo queste trasformazioni, un corpo che si muove
rispetto a K' con velocità v' (nella direzione di V )
viene visto muoversi rispetto a K con velocità v legata alla precedente ( v' ) dalla formula :
(la chiameremo per comodità formula di Lorentz).
Questa formula è radicalmente diversa dall'analoga formula di Galileo v = v' + V e contiene,
come è giusto che sia, la velocità della luce c .
Osservandola notiamo subito che quando le velocità V e v' sono piccole (le velocità dei
fenomeni che avvengono sotto i nostri occhi), poiché il numero
è molto grande, il termine :
è praticamente trascurabile (quasi 0 ) e quindi possiamo scrivere :
(il simbolo
significa "circa uguale") dove l'ultimo termine a destra è
esattamente la formula
di Galileo.
La formula
si riduce, quindi, per tali fenomeni "ordinari" alla formula di
Galileo
.
Infatti, se per esempio v' = 90 m/s e V = 100 m/s , abbiamo :
(abbiamo espresso la velocità della luce in metri al secondo) che è un numero molto vicino a 0 .
Per la quasi totalità dei fenomeni che vengono percepiti dai nostri sensi, quindi, la formula di
composizione delle velocità di Galileo è sostanzialmente valida per cui per quei fenomeni non
serve considerare la corrispondente formula di Lorentz.
Se le velocità in gioco sono prossime alla velocità della luce c , invece, il termine
non è
più trascurabile e quindi la formula di Lorentz :
si discosta completamente da quella di Galileo.
Supponiamo che sia V < c e v' = c :
Sostituendo e semplificando opportunamente come indicato nel testo, otteniamo :
.
Questo risultato indica che la velocità del corpo che si muove di velocità c rispetto a K'
è visto muoversi di velocità c anche rispetto a K e questo in accordo col principio di
costanza della velocità della luce.
Supponiamo ora che sia V = c e v' < c :
Sostituendo e semplificando opportunamente, otteniamo :
che rappresenta un risultato analogo al precedente.
Supponiamo infine che sia V = c e v' = c :
Sostituendo e semplificando, otteniamo :
.
Anche questo risultato, per quanto inverosimile possa sembrare, è coerente al principio di
costanza della velocità della luce.
- spazio-tempo
Se la luce viaggia alla stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento inerziali, le usuali nozioni
di spazio e tempo devono essere modificate profondamente. In particolare non esiste, a
differenza di quanto affermavano Galileo e Newton, un tempo assoluto che scorre allo stesso
modo i tutti i sistemi di riferimento (vedi meglio al prossimo punto).
Anzi, di più, lo spazio ed il tempo possono essere considerati come un tutt'uno :
lo spazio-tempo.
Ogni sistema di riferimento inerziale possiede il "proprio spazio" (misurato rispetto al proprio
sistema di assi cartesiani tridimensionali) ed il "proprio tempo" (misurato dal proprio orologio) :
Un evento è quindi caratterizzato, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, da 4 numeri :
3 coordinate spaziali x, y, z ed una coordinata temporale t . Rispetto a K avremo allora
che l'evento P ha le coordinate :
P(x, y, z, t)
mentre rispetto a K' l'evento P' ha le coordinate :
P'(x', y', z', t') .
Lo spazio-tempo è quindi un spazio matematico quadridimensionale.
- contrazione spaziale, dilatazione temporale
Una conseguenza diretta delle trasformazioni di Lorentz (che soddisfano il principio di costanza
della velocità della luce) è che gli intervalli di spazio e di tempo vengono "visti" dai due sistemi
inerziali K e K' in modo diverso. Questo fatto, che può sembrare sconvolgente perché del tutto
contrario al buon senso, rappresenta una delle principali conseguenze della teoria della relatività
ristretta.
Consideriamo un oggetto di lunghezza
in quiete rispetto al sistema K' (ed orientato come
indicato in figura) :
Come verrà visto quell'oggetto da K ? Secondo le trasformazioni di Galileo (e secondo il
buon senso comune) esso risulterà lungo
(come rispetto a K' ). Invece, secondo le
trasformazioni di Lorentz, esso risulterà più corto. La lunghezza dell'oggetto rispetto a K
sarà :
,
risulterà cioè soggetto ad una contrazione. Valutiamone l'entità.
Si vede subito che, se V è piccola rispetto a c , il termine
è trascurabile per cui, in
questi casi, si avrà :
che corrisponde esattamente a ciò che il senso comune ci indica in conformità con le
trasformazioni di Galileo.
Se invece V è circa c , allora il termine
diventa prossimo a 1 . Questo significa che
dentro alla radice otteniamo un numero quasi nullo per cui la moltiplicazione per
fornisce
un risultato quasi nullo. In questo caso l'oggetto viene visto da K dotato di lunghezza quasi
nulla.
L'oggetto viene quindi visto da K dotato di una lunghezza che tende a 0 al tendere a c
della velocità V .
Consideriamo ora un fenomeno che rispetto a K' abbia una durata temporale pari a
:
Come verrà visto quell'intervallo temporale da K ? Secondo le trasformazioni di Galileo (e
secondo il buon senso comune) esso risulterà lungo
(come rispetto a K' ). Invece, secondo
le trasformazioni di Lorentz, esso risulterà più lungo. La durata del fenomeno rispetto a K
sarà :
,
risulterà cioè soggetta ad una dilatazione. Valutiamone l'entità.
Si vede subito che, se V è piccola rispetto a c , il termine
è trascurabile per cui, in
questi casi, si avrà :
che corrisponde esattamente a ciò che il senso comune ci indica in conformità con le
trasformazioni di Galileo.
Se invece V è circa c , allora il termine
diventa prossimo a 1 . Questo significa che
dentro alla radice otteniamo un numero quasi nullo e, dovendo essere diviso
per
un numero
quasi nullo, viene fornito un risultato quasi infinito. In questo caso il fenomeno viene visto da K
durare un tempo quasi infinito.
Il fenomeno in questione viene quindi visto da K durare un tempo che tende all' infinito al
tendere a c della velocità V .
Infine occorre precisare, a scanso di equivoci, che la contrazione relativistica dello spazio e
la dilatazione relativistica del tempo sono percepiti dall'osservatore K mentre l'osservatore K'
non si accorge di nulla. Occorre anche precisare che le stesse variazioni spazio-temporali sono
verificate da K' qualora osservasse K . In fondo se K' si muove con velocità V rispetto a K ,
il sistema K si muove rispetto a K' della stessa velocità !!
- principio di relatività ristretta
Il principio di relatività galileiana è stato esteso da Einstein a tutti i fenomeni della fisica (non
solo a quelli della meccanica) per cui il principio di relatività ristretta afferma che :
le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali i quali
risultano perciò fisicamente completamente equivalenti.
In pratica, facendo esperimenti di fisica in differenti sistemi di riferimento inerziali, troveremmo
sempre le stesse leggi fisiche.
Sottolineiamo che il principio di relatività ristretta è analogo al principio di relatività galileiana
con in aggiunta il principio di costanza della velocità della luce che induce correzioni nelle
trasformazioni matematiche da un sistema di riferimento all'altro e di conseguenza ai concetti
generali di spazio e tempo.