A. Amadori - L. Lussardi

Una Introduzione alla Teoria della Relatività

Un estratto :

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§ 4-7 Metrica di Schwarzschild.

Il campo gravitazionale più semplice, così come nella teoria classica di Newton, è quello generato da una massa puntiforme. Un campo analogo può essere creato da una distribuzione di masse a simmetria centrale.

Si tratta quindi di un campo statico a simmetria centrale la cui metrica $ds$ fu trovata per primo da Schwarzschild nel 1916.

Ci proponiamo in questo paragrafo di determinare tale metrica che costituisce un caso di fondamentale importanza per la RG.

Consideriamo il sistema di coordinate sferiche $(x^1, x^2, x^3)$ di $RR^3$ definite da :

        $f: {(y^1 = x^1 sin (x^2) cos (x^3)), (y^2 = x^1 sin (x^2) sin (x^3)), (y^3 = x^1 cos (x^2)):}$        

dove :

        $x^1 = r, x^2 = \theta, x^3 = \phi$.       

Graficamente :

          

Poiché :

        ${del f} / {del r} = (sin \theta cos \phi, sin \theta sin \phi, cos \theta)$

        ${del f} / {del \theta} = (r cos \theta cos \phi, r cos \theta sin \phi, -r sin \theta)$

        ${del f} / {del \phi} = (-r sin \theta sin \phi, r sin \theta cos \phi, 0)$,

l'elemento $dl^2$ di $RR^3$ in coordinate sferiche è:

        $dl^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 sin^2 \theta d\phi^2$       

ed il tensore metrico è :

        $\gamma_{\alpha \beta} = [(1, 0, 0), (0, r^2, 0), (0, 0, r^2 sin^2 \theta)]$.        

Consideriamo ora una massa puntiforme $M$ posizionata in $0$. Essa, come afferma la RG, perturba la metrica del cronotopo rendendolo non euclideo. Il tensore metrico del campo statico a simmetria centrale prodotto dalla massa $M$ dovrà allora avere la forma :

        $g_{ij} = [(a(r),0, 0, 0), (0, -b(r), 0, 0), (0, 0, -r^2 c(r), 0), (0, 0, 0, -r^2 d(r) sin^2 \theta)]$,         

dove $a(r)$, $b(r)$, $c(r)$ e $d(r)$ sono funzioni da determinare.

La scelta delle componenti in (3-7,5) è dettata dal fatto che in un campo statico non deve essere presente esplicitamente la variabile temporale $x^0$ e deve essere $g_{0 \alpha} = 0$. Inoltre, la simmetria centrale impone che le funzioni $a$, $b$, $c$, $d$ dipendano solo da $r$.

L'elemento $ds^2$ è quindi :

        $ds^2 = a(r) c^2 dt^2 - b(r) dr^2 - r^2 c(r) d\theta^2 - r^2 d(r) sin^2 \theta d\phi^2$        

dove vale $x^0 = ct$.

Il tensore metrico (3-7,5) mantiene la proprietà di simmetria centrale richiesta ma la coordinata $r$ non è più il raggio vettore in senso euclideo.

Per dare un "senso euclideo" ad $r$ imporremo che ogni circonferenza di centro $0$ abbia lunghezza $2 \pi r$.

Per fare questo poniamo $\theta = \pi/2$, $r = \c\o\s\t\a\n\t\e$ e $t = \c\o\s\t\a\n\t\e$.

L'elemento di lunghezza sarà allora :

        $ dl = r sqrt(d(r)) d\phi$

per cui, integrando, perché la circonferenza sia lunga $2 \pi r$ si deve avere :

        $r sqrt(d(r)) * 2 \pi = 2 \pi r$

cioè :

        $d(r) = 1$.        

Facendo la stesa cosa ponendo $\phi = \c\o\s\t\a\n\t\e$, si ottiene :

        $c(r) = 1$.        

Il tensore metrico risulta così :

        $g_{ij} = [(a(r),0, 0, 0), (0, -b(r), 0, 0), (0, 0, -r^2, 0), (0, 0, 0, -r^2 sin^2 \theta)]$         

e l'elemento $ds^2$ di conseguenza sarà :

        $ds^2 = a(r) c^2 dt^2 - b(r) dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 sin^2 \theta d\phi^2$.        

Un calcolo diretto (eseguito utilizzando il programma Tensori (vedi § A-2)) fornisce per i simboli di Christoffel non nulli i seguenti valori :

        $\Gamma _{01} ^0 = \Gamma _{10} ^0 = {a'} / {2a}$

        $\Gamma _{00} ^1 = {a'} / {2b}$

        $\Gamma _{11} ^1 = {b'} / {2b}$

        $\Gamma _{22} ^1 = -r / b$

        $\Gamma _{33} ^1 = -{r sin^2 \theta} / b$

        $\Gamma _{12} ^2 = \Gamma _{21} ^2 = 1 / r$

        $\Gamma _{33} ^2 = - sin \theta cos \theta$

        $\Gamma _{13} ^3 = \Gamma _{31} ^3 = 1 / r$

        $\Gamma _{23} ^3 = \Gamma _{32} ^3 = cos \theta / sin \theta$

dove con l'apice $'$ si indica qui la derivata rispetto ad $r$.

Le componenti non nulle del tensore di Ricci risultano di conseguenza (ottenute utilizzando il programma di cui sopra) :

        $R_{00} = {a''} / {2b} - {a'} / {4b} (ln (a b))' + {a'} / {r b}$

        $R_{11} = -{a''} / {2a} + {a'^2} / {4 a^2} + {a'b'} / {4 a b} + {b'} / {r b}$

        $R_{22} = 1 - 1 / b + r / {2b} (ln (b/a))^'$

        $R_{33} = sin^2 \theta (1 - 1 / b + r / {2b} (ln (b/a))^')$

dove anche qui l'apice $'$ indica la derivata rispetto ad $r$.

Nel vuoto, fuori dalla massa che crea il campo, deve essere :

        $R_{ij} = 0$.       

Avremo quindi :

        ${({a''} / {2b} - {a'} / {4b} (ln (a b))' + {a'} / {r b} = 0), (-{a''} / {2a} + {a'^2} / {4 a^2} + {a'b'} / {4 a b} + {b'} / {r b} = 0), (1 - 1 / b + r / {2b} (ln (b/a))^' = 0), (sin^2 \theta (1 - 1 / b + r / {2b} (ln (b/a))^') = 0):}$.       

Cerchiamo ora la funzione $a(r)$ nella forma :

        $a = 1 + \alpha / r$.        

Questa scelta è coerente col fatto che per $r$ grandi la (3-7,9) deve diventare galileiana.

Sostituendo la (3-7,13) nella prima equazione di (3-7,12) si ottiene :

        $b = \beta / {1 + \alpha / r}$        

dove $\beta$ è un'altra costante da determinare.

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