Master Liceale in Matematica e Fisica 2007 - 2008 : resoconti 
(Liceo Scientifico A. Righi di Cesena)

Meccanica quantistica

05/12/07 :

Presentazione master.

Breve excursus sui concetti di base della meccanica quantistica.

Assenza del concetto di traiettoria continua.

Introduzione al concetto di funzione d'onda e probabilità.

Presentazione degli argomenti di matematica necessari alla meccanica quantistica : numeri complessi, vettori, funzioni a più variabili e derivate parziali.

Ripasso su numeri naturali, interi, razionali, reali.

Introduzione ai numeri complessi : definizione algebrica, operazioni.

Rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Gauss : significato geometrico di somma e sottrazione.

Rappresentazione polare dei numeri complessi e formula di Eulero : significato geometrico di moltiplicazione e divisione.

Complesso coniugato.

Anticipazioni sulla definizione di funzione d'onda e suo significato probabilistico.

Introduzione intuitiva del concetto di integrale come "somma di infiniti infinitesimi".

14/12/07 :

Vettori come n-ple di numeri.

Somma e sottrazione di vettori.

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare.

Prodotto scalare (prodotto interno) fra due vettori.

Ortogonalità fra vettori.

Base ortonormale canonica ovvero i versori degli assi coordinati.

Componente i-esima di un vettore come prodotto interno del vettore medesimo per il versore i-esimo.

Scomposizione di un vettore rispetto alla base ortonormale canonica.

Cardinalità di un insieme. Insiemi finiti. Insiemi numerabili. Insiemi continui.

18/12/07 :

Dimostrazione del teorema di Cantor sulla non numerabilità di R. 

Assioma di Cantor sulla non esistenza di una cardinalità intermedia fra la numerabilità e la continuità 

Retta in R², piano in R³.

Equazione della retta in R² e del piano in R³ passanti per l'origine come prodotto interno nullo. 

Equazione della retta in R² e del piano in R³ non passanti per l'origine. 

Distanza dall'origine ad una retta in R² e ad un piano in R³.

Piani notevoli.

Iperpiano in Rⁿ.

Circonferenza in R², sfera in R³.

Ellissoide, paraboloide di R³.

Funzioni z = f(x,y) come superficie in R³.

Intersezioni di una superficie con i piani x = k, y = k, z = k. In particolare con z = 0, y = 0, z = 0.

Derivate parziali. Come calcolarle e significato geometrico.

09/01/08 :

Ripasso su scomposizione di un vettore, spazi vettoriali a n ed infinite dimensioni, coefficienti e serie di Fourier, numeri complessi, funzioni a più variabili.

Sviluppo in serie di Taylor. 

Introduzione intuitiva al calcolo integrale.

Introduzione al concetto di densità di probabilità.

18/01/08 :

Rapido excursus storico della nascita della meccanica quantistica : corpo nero, effetto fotoelettrico, impossibilità dell'esistenza dell'atomo classico. 

Quanti di energia.

Concetto matematico (topologico) di continuità.

Impossibilità quantistica della traiettoria classica. 

Funzione d'onda Ψ(x,y,z,t). 

La Ψ è un numero complesso.

Densità di probabilità |Ψ|² = Ψ·Ψ*. 

Moti unidimensionali con Ψ(x,t). 

Probabilità di trovare una particella in un intervallo [a,b] (nel caso unidimensionale). 

Normalizzazione della funzione d'onda. 

Evoluzione temporale della funzione d'onda (esempi grafici nel caso unidimensionale in coordinate spazio-densità di probabilità, spazio-tempo-densità di probabilità). 

Cenni su effetto tunnel, bosoni, fermioni, principio di esclusione di Pauli, livello fondamentale non nullo di un oscillatore armonico, zero point energy.

Equazione temporale unidimensionale di Schrödinger.

25/01/08 :

La funzione d'onda Ψ come vettore.

Prodotto interno fra funzioni d'onda.

Sistemi ortonormali di funzioni d'onda. 

Sviluppo di una funzione d'onda rispetto ad una base ortonormale. 

Esempio di sviluppo con la base {x^j}che non è propriamente ortonormale, ma può servire come valido esempio metodologico.

Moto unidimensionale classico con energia E = T + U.

Condizione perché il moto sia possibile.

Esempio della buca di potenziale e dell'oscillatore armonico.

28/01/08 :

Operatori che agiscono sulla funzione d'onda Ψ.

Ad una grandezza fisica corrisponde un operatore.

All'energia corrisponde l'operatore hamiltoniano H.

Equazione agli autovalori per l'hamiltoniano : HΨ=EΨ.

Autovettori (autostati) ed autovalori.

Un autostato dell'energia è uno stato Ψ che fornisce, in un processo di misura, sempre uno stesso valore dell'energia, il suo corrispondente autovalore.

Stato fondamentale.

Gli autostati dell'hamiltoniano costituiscono un sistema ortonormale di funzioni d'onda.

Sviluppo di una funzione d'onda Ψ negli autostati dell'hamiltoniano.

Significato fisico dei coefficienti del suddetto sviluppo : il modulo quadro del coefficiente i-esimo costituisce la probabilità per il corrispondente autovalore i-esimo.

Valore medio dell'energia.

Principio di sovrapposizione.

Forma matematica unidimensionale dell'hamiltoniano.

Equazione unidimensionale di Schrödinger agli autovalori (non dipendente dal tempo).

Principio di corrispondenza.

Energia potenziale U per la buca di potenziale e l'oscillatore armonico.

04/02/08 :

Buca di potenziale unidimensionale classica.

Buca di potenziale unidimensionale a pareti infinite : deduzione analitica e proprietà degli autovalori ed autovettori dell'energia.

Buca di potenziale unidimensionale a pareti finite : descrizione qualitativa di autovalori ed autovettori dell'energia.

Potenziale coulombiano : descrizione qualitativa di autovalori ed autovettori dell'energia.

Spettro discreto e continuo.

Autostato dell'impulso : cenni, alla luce dell'ipotesi di De Broglie e del principio di indeterminazione di Heisenberg.

Autostato della posizione : introduzione alla delta di Dirac.

13/02/08 :

Analisi del legame matematico fra forza, lavoro, energia cinetica in meccanica classica.

Deduzione del legame matematico fra forza ed energia potenziale per un campo conservativo in meccanica classica.

Deduzione dell'energia potenziale per l'oscillatore armonico unidimensionale.

Deduzione della legge oraria dell'oscillatore armonico unidimensionale in meccanica classica.

Oscillatore armonico unidimensionale quantistico.

Calcolo dell'autovalore e dell'autostato fondamentale.

Cenni sulle funzioni d'onda degli altri autostati.

20/02/08 :

Prova scritta (primo gruppo). Tema : la meccanica quantistica.

22/02/08 :

Prova scritta (secondo gruppo). Tema : la meccanica quantistica.

Relatività

10/03/08 :

Presentazione generale ed intuitiva degli argomenti nei seguenti punti.

Relatività galileiana : lo spazio è relativo, il tempo è assoluto.Trasformazioni di Galileo. 

Dalle equazioni di Maxwell si deduce che il campo elettromagnetico (in particolare la luce) si propaga con velocità  c .

Ipotesi dell'etere luminifero. Esperimento di Michelson-Morley.

Crisi della relatività galileiana. Principio di costanza della velocità della luce.

Trasformazioni di Lorentz (solo annunciate, senza darne la formula).

Lo spazio è relativo, il tempo è relativo, il continuum spaziotemporale è assoluto.

Crisi della teoria gravitazionale di Newton : istantaneità dell'interazione gravitazionale, universo infinito ed eterno, paradosso di Olbers, soluzione creazionistica statica del paradosso, soluzione creazionistica espansiva di E. A. Poe.

Critica di Mach al concetto di inerzia.

Teoria della relatività ristretta di Einstein (1905).

Lo spazio può non essere euclideo : Bolyai né Lobacevskij.

La grande intuizione di Riemann : lo spazio fisico può non essere euclideo e la sua geometria è passibile di verifica sperimentale.

Le masse incurvano la geometria dello spaziotempo.

Teoria della relatività generale di Einstein (1916).

18/03/08 :

Enunciazione delle trasformazioni di Lorentz.

Dimostrazione che le trasformazioni di Lorentz soddisfano il principio di costanza della velocità della luce.

Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz : contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi (enunciazione formule e loro proprietà).

Legge di composizione relativistica delle velocità (enunciazione formula ed esempi).

Massa ed energia relativistica.

Non superabilità della velocità della luce (conseguenze matematiche e fisiche).

Gravitazione newtoniana.

Principio di equivalenza di massa inerziale e massa gravitazionale.

Un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale (esempio della navicella spaziale che accelera).

28/03/08 :

Principio di equivalenza. 

Scalari, vettori, tensori (introduzione intuitiva).

Indici controvarianti e covarianti.

Spazi euclidei e non euclidei : esempio del triangolo con tre angoli retti di una superficie sferica.

Necessità della metrica. Lunghezza di una linea. Linee geodetiche.

Tensore metrico fondamentale, tensore di Riemann, tensore di Ricci (presentazione).

Rappresentazione parametrica di una superficie : le coordinate bidimensionali (u,v) puntano le coordinate cartesiane tridimensionali (x,y,z).

Esempio della colatitudine e longitudine di una sfera.

Distanza fra due punti infinitamente vicini su una superficie. Differenziale in più dimensioni.

02/04/08 :

Definizione e calcolo dell'elemento di linea ds su una superficie. 

Definizione dei coefficienti E, F, G di Gauss e del corrispondente tensore metrico fondamentale g_ij. 

Convenzione di Einstein per la formula che definisce ds.

Esempio di calcolo del tensore metrico fondamentale nel caso della superficie sferica.

Possibilità di calcolare una geodetica partendo dalla conoscenza del tensore metrico e quindi dell'elemento ds.

Estensione dei concetti di tensore metrico, elemento ds e geodetica al cronotopo.

Una particella percorre una geodetica nel cronotopo.

Le masse creano il campo gravitazionale che rende il cronotopo non euclideo.

Le masse determinano la curvatura del cornotopo.

La curvatura è descritta dal tensore di Riemann R_ijkl, dal tensore di Ricci R_ij e dallo scalare R detto curvatura scalare.

Equazione gravitazionale di Einstein. 

Significato del tensore energia-impulso.

Caratteristica di complessità dell'equazione di Einstein.

Caratteristica di completezza dell'equazione di Einstein (le equazioni di Maxwell non sono complete) : le masse creano il campo che modifica la curvatura del cronotopo in cui esse si muovono seguendone la curvatura ovvero, risolvendo l'equazione di Einstein, si determina sia la curvatura del cronotopo che la distribuzione delle masse e la loro velocità.

16/04/08 :

Prova scritta. Tema : la teoria della relatività.

Fine.